【力扣周赛】第 362 场周赛（⭐差分匹配状态压缩DP矩阵快速幂优化DPKMP）

竞赛链接

https://leetcode.cn/contest/weekly-contest-362/

Q1：2848. 与车相交的点

https://leetcode.cn/problems/points-that-intersect-with-cars/description/

提示：
1 <= nums.length <= 100
nums[i].length == 2
1 <= starti <= endi <= 100

解法1——排序后枚举

排序之后按顺序枚举，每次比较和上个区间结束位置之间的关系。

class Solution {public int numberOfPoints(List<List<Integer>> nums) {int ans = 0, last = -1;Collections.sort(nums, (x, y) -> x.get(0) - y.get(0));for (List<Integer> x: nums) {ans += Math.max(0, x.get(1) - Math.max(last + 1, x.get(0)) + 1);last = Math.max(last, x.get(1));}return ans;}
}

解法2——差分数组⭐

https://leetcode.cn/problems/points-that-intersect-with-cars/solutions/2435384/chai-fen-shu-zu-xian-xing-zuo-fa-by-endl-3xpm/

关于差分可见：【算法基础】1.5 前缀和与差分

class Solution {public int numberOfPoints(List<List<Integer>> nums) {int[] diff = new int[102];// 利用差分将区间内所有位置 +1for (List<Integer> p: nums) {diff[p.get(0)]++;diff[p.get(1) + 1]--;}int ans = 0, s = 0;// 检查各个位置  如果>0则ans++for (int d: diff) {s += d;if (s > 0) ans++;}return ans;}
}

差分数组相关题目列表📕

题目列表来源：分享｜【算法小课堂】差分数组（Python/Java/C++/Go/JS）

1094. 拼车

https://leetcode.cn/problems/car-pooling/

提示：

1 <= trips.length <= 1000
trips[i].length == 3
1 <= numPassengersi <= 100
0 <= fromi < toi <= 1000
1 <= capacity <= 10^5

用差分 表示 from 到 to 的范围内增加了多少人，然后再还原。

class Solution {public boolean carPooling(int[][] trips, int capacity) {int[] diff = new int[1002];// 构造差分数组for (int[] t: trips) {diff[t[1]] += t[0];diff[t[2]] -= t[0];}// 差分数组的还原for (int i = 0; i <= 1000; ++i) {if (diff[i] > capacity) return false;diff[i + 1] += diff[i];}return true;}
}

1109. 航班预订统计

https://leetcode.cn/problems/corporate-flight-bookings/

提示
1 <= n <= 2 * 10^4
1 <= bookings.length <= 2 * 10^4
bookings[i].length == 3
1 <= firsti <= lasti <= n
1 <= seatsi <= 10^4

class Solution {public int[] corpFlightBookings(int[][] bookings, int n) {int[] ans = new int[n], diff = new int[n + 1];for (int[] booking: bookings) {diff[booking[0] - 1] += booking[2];diff[booking[1]] -= booking[2];}for (int i = 0; i < n; ++i) {ans[i] = diff[i];diff[i + 1] += diff[i];}return ans;}
}

2381. 字母移位 II

https://leetcode.cn/problems/shifting-letters-ii/

提示
1 <= s.length, shifts.length <= 5 * 10^4
shifts[i].length == 3
0 <= starti <= endi < s.length
0 <= directioni <= 1
s 只包含小写英文字母。

class Solution {public String shiftingLetters(String s, int[][] shifts) {int n = s.length();// 构造差分数组int[] diff = new int[n + 1];for (int[] shift: shifts) {int t = shift[2] == 1? 1: -1;diff[shift[0]] += t;diff[shift[1] + 1] -= t;}// 差分数组和答案的还原char[] ans = new char[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {ans[i] = op(s.charAt(i), diff[i]);diff[i + 1] += diff[i];}return String.valueOf(ans);}// 对字符 a 移动 xpublic char op(char a, int x) {return (char)(((a - 'a' + x % 26) + 26) % 26 + 'a');}
}

2406. 将区间分为最少组数

https://leetcode.cn/problems/divide-intervals-into-minimum-number-of-groups/

提示：

1 <= intervals.length <= 1^05
intervals[i].length == 2
1 <= lefti <= righti <= 10^6

解法1——排序贪心+优先队列

按照区间的开始位置从小到大排序。
想象每个组合就是一个列表，我们使用有限队列维护这些列表的末尾位置。
这样每次枚举到一个新的区间，检查是否可以放入已有列表中，如果可以，就将一个已有列表的末尾位置换成当前区间的结尾位置。

class Solution {public int minGroups(int[][] intervals) {Arrays.sort(intervals, (x, y) -> x[0] - y[0]);PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>((x, y) -> x - y);for (int[] interval: intervals) {if (!pq.isEmpty() && pq.peek() < interval[0]) pq.poll();pq.offer(interval[1]);}return pq.size();}
}

解法2——差分数组

差分还原中出现的最大值就是答案。

class Solution {public int minGroups(int[][] intervals) {TreeMap<Integer, Integer> diff = new TreeMap<>();int ans = 0, sum = 0;// 计算差分for (int[] interval: intervals) {diff.merge(interval[0], 1, Integer::sum);diff.merge(interval[1] + 1, -1, Integer::sum);}// 还原差分for (Map.Entry<Integer, Integer> entry: diff.entrySet()) {sum += entry.getValue();ans = Math.max(ans, sum);}return ans;}
}

2772. 使数组中的所有元素都等于零

https://leetcode.cn/problems/apply-operations-to-make-all-array-elements-equal-to-zero/

提示：

1 <= k <= nums.length <= 10^5
0 <= nums[i] <= 10^6

有点差分的思想，又不太一样。

贪心地从前往后枚举每一个位置，只要 > 0 就减，< 0 就返回 false。

class Solution {public boolean checkArray(int[] nums, int k) {int n = nums.length, diff = 0, ans = 0;int[] x = new int[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {if (i >= k) diff -= x[i - k];if (nums[i] > diff) {if (n - i < k) return false;ans += nums[i] - diff;      // 更新答案x[i] = nums[i] - diff;      // 记录这个位置减去了多少diff = nums[i];             // 更新diff} else if (nums[i] < diff) return false;}return true;}
}

2528. 最大化城市的最小供电站数目（⭐差分数组 + 二分查找答案）

https://leetcode.cn/problems/maximize-the-minimum-powered-city/

提示：
n == stations.length
1 <= n <= 10^5
0 <= stations[i] <= 10^5
0 <= r <= n - 1
0 <= k <= 10^9

看到「最大化最小值」或者「最小化最大值」就要想到二分答案，这是一个固定的套路。

class Solution {public long maxPower(int[] stations, int r, int k) {int n = stations.length;long mn = Long.MAX_VALUE;// 计算差分数组long[] cnt = new long[n + 1];for (int i = 0; i < n; ++i) {cnt[Math.max(0, i - r)] += stations[i];cnt[Math.min(n, i + r + 1)] -= stations[i];}// 差分数组的还原for (int i = 0; i < n; ++i) {cnt[i + 1] += cnt[i];mn = Math.min(mn, cnt[i]);}// 二分查找答案long left = mn, right = mn + k;while (left < right) {long mid = left + right + 1 >> 1;if (!check(cnt, mid, r, k)) right = mid - 1;else left = mid;}return left;}// check过程类似 T2772. 使数组中的所有元素都等于零public boolean check(long[] cnt, long x, int r, int k) {long diff = 0;int n = cnt.length - 1;long[] d = new long[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {if (i >= 2 * r + 1) diff -= d[i - 2 * r - 1];if (cnt[i] + diff < x) {d[i] = x - cnt[i] - diff;k -= d[i];diff = x - cnt[i];}}return k >= 0;}
}

最大化最小化相关题目列表📕

见：【算法】二分答案 对应部分。

Q2：2849. 判断能否在给定时间到达单元格（脑筋急转弯、贪心）

https://leetcode.cn/problems/determine-if-a-cell-is-reachable-at-a-given-time/

提示：
1 <= sx, sy, fx, fy <= 109
0 <= t <= 10^9

斜着走，一步顶两步——相当于可以同时横着走和竖着走。 那么只要满足垂直和水平方向中最长的那个距离就好了。

注意有个特例是：只走一步时，如果起点和终点相同就不可以了。

class Solution {public boolean isReachableAtTime(int sx, int sy, int fx, int fy, int t) {if (sx == fx && sy == fy && t == 1) return false;		// 特例return t >= Math.max(Math.abs(sx - fx), Math.abs(sy - fy));}
}

Q3：2850. 将石头分散到网格图的最少移动次数⭐⭐⭐（全排列和状态压缩）

https://leetcode.cn/problems/minimum-moves-to-spread-stones-over-grid/

提示：

grid.length == grid[i].length == 3
0 <= grid[i][j] <= 9
grid 中元素之和为 9

解法1——枚举全排列

https://leetcode.cn/problems/minimum-moves-to-spread-stones-over-grid/solutions/2435313/tong-yong-zuo-fa-zui-xiao-fei-yong-zui-d-iuw8/

将起始点和终点分别放入两个列表，做全排列匹配。
枚举所有全排列，比较各种情况下的移动次数，得出最小移动次数。

class Solution {int ans = Integer.MAX_VALUE, sum = 0;boolean[] st = new boolean[9];public int minimumMoves(int[][] grid) {// 将起始点和终点放入列表List<int[]> src = new ArrayList<>(), dst = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < 3; ++i) {for (int j = 0; j < 3; ++j) {while (grid[i][j] > 1) {src.add(new int[]{i, j});grid[i][j]--;}if (grid[i][j] == 0) dst.add(new int[]{i, j});}}// dfs全排列dfs(0, src, dst);return ans;}public void dfs(int i, List<int[]> src, List<int[]> dst) {if (i == src.size()) {ans = Math.min(ans, sum);return;}for (int j = 0; j < dst.size(); ++j) {if (!st[j]) {int[] s = src.get(i), d = dst.get(j);sum += Math.abs(s[0] - d[0]) + Math.abs(s[1] - d[1]);st[j] = true;dfs(i + 1, src, dst);sum -= Math.abs(s[0] - d[0]) + Math.abs(s[1] - d[1]);st[j] = false;}}}
}

解法2——最小费用最大流 （TODO）

https://leetcode.cn/problems/minimum-moves-to-spread-stones-over-grid/solutions/2435313/tong-yong-zuo-fa-zui-xiao-fei-yong-zui-d-iuw8/

在这里插入代码片

解法3——状压DP

https://leetcode.cn/problems/minimum-moves-to-spread-stones-over-grid/solutions/2435319/zhuang-ya-dp-by-tsreaper-jiw0/

状态压缩DP相比全排列速度更快（48ms vs 3ms）

class Solution {public int minimumMoves(int[][] grid) {// 起始点和目的点放入两个列表List<int[]> L = new ArrayList<>(), R = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < 3; ++i) {for (int j = 0; j < 3; ++j) {if (grid[i][j] == 0) R.add(new int[]{i, j});else {for (; grid[i][j] > 1; grid[i][j]--) {L.add(new int[]{i, j});}}}}// 状态压缩DPint n = L.size();int[] dp = new int[1 << n];Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);dp[0] = 0;for (int i = 1; i < (1<<n); ++i) {// 计算 i 中有几个二进制等于 1——为了确定当前目的点是哪个int cnt = 0;for (int j = 0; j < n; ++j) {cnt += i >> j & 1;}// 状态转移for (int j = 0; j < n; ++j) {   // 枚举所有目标点if ((i >> j & 1) == 1) {    // 检查是否为1，即是否可以从前面转移过来dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i ^ (1 << j)] + cost(R.get(cnt - 1), L.get(j)));}}}return dp[(1<<n) - 1];}public int cost(int[] a, int[] b) {return Math.abs(a[0] - b[0]) + Math.abs(a[1] - b[1]);}
}

涉及到「匹配」的题目列表📕

题单来源：https://leetcode.cn/problems/minimum-moves-to-spread-stones-over-grid/solutions/2435313/tong-yong-zuo-fa-zui-xiao-fei-yong-zui-d-iuw8/

1947. 最大兼容性评分和

https://leetcode.cn/problems/maximum-compatibility-score-sum/

提示：
m == students.length == mentors.length
n == students[i].length == mentors[j].length
1 <= m, n <= 8
students[i][k] 为 0 或 1
mentors[j][k] 为 0 或 1

解法1——枚举全排列

数据范围很小，可以枚举出所有学生和老师之间匹配的方案。

class Solution {int ans = 0;boolean[] st = new boolean[8];public int maxCompatibilitySum(int[][] students, int[][] mentors) {// 全排列dfs(students, mentors, 0, 0);return ans;}public void dfs(int[][] students, int[][] mentors, int i, int sum) {if (i == students.length) {ans = Math.max(ans, sum);return;}for (int j = 0; j < mentors.length; ++j) {if (st[j]) continue;st[j] = true;dfs(students, mentors, i + 1, sum + cp(students[i], mentors[j]));st[j] = false;}}// 计算某个学生和某个老师的兼容性评分public int cp(int[] s, int[] t) {int res = 0;for (int i = 0; i < s.length; ++i) {if (s[i] == t[i]) res++;}return res;}
}

解法2——状态压缩DP

class Solution {public int maxCompatibilitySum(int[][] students, int[][] mentors) {int n = students.length;int[][] dp = new int[n + 1][1<<n];  // dp[i][j]表示匹配完i个老师，和集合j的学生的最大匹配和// 枚举每个状态for (int i = 1; i < (1<<n); ++i) {int idx = Integer.bitCount(i);  // 计算该匹配哪个老师了// 枚举每个学生for (int j = 0; j < n; ++j) {if ((i >> j & 1) == 1) {    // 如果可以转移dp[idx][i] = Math.max(dp[idx][i], dp[idx - 1][i ^ (1<<j)] + cp(students[j], mentors[idx - 1]));}}}return dp[n][(1<<n) - 1];}// 计算某个学生和某个老师的兼容性评分public int cp(int[] s, int[] t) {int res = 0;for (int i = 0; i < s.length; ++i) {if (s[i] == t[i]) res++;}return res;}
}

1349. 参加考试的最大学生数🚹（状态压缩DP）

https://leetcode.cn/problems/maximum-students-taking-exam/

提示：
seats 只包含字符 '.' 和'#'
m == seats.length
n == seats[i].length
1 <= m <= 8
1 <= n <= 8

将每一行选择的位置用一个int变量表示。

枚举每一行，再枚举该行的状态，然后枚举上一行的状态，检测是否合理且可以转移过来。
最后的答案就是最后一行各个状态的最大值。

---

这里的合理包括：

1. 该行本身要合理，—— 都要坐在正常的椅子上；同一行的两个学生不能挨边坐。
2. 每一行和上一行之间不能有冲突——如果上一行的某一列已经坐人了，那么该行该列的左右两侧就不能坐人了。

class Solution {public int maxStudents(char[][] seats) {int m = seats.length, n = seats[0].length;int[] states = new int[m];for (int i = 0; i < m; ++i) {states[i] = getMask(seats[i]);}// 一共m行，每行1<<n种状态int[][] dp = new int[m + 1][1 << n];for (int i = 0; i < 1<<n; ++i) {// 判断 i 是不是 states[0] 的子集 && 自己不冲突if (check(states[0], i) && op(i)) {dp[0][i] = Integer.bitCount(i);}}// 枚举每一行for (int i = 1; i < m; ++i) {// 枚举这一行的每个状态for (int j = 0; j < 1<<n; ++j) {if (!check(states[i], j)) continue;     // 如果这个状态不合理，就跳过// 枚举上一行的每个状态for (int k = 0; k < 1<<n; ++k) {if (!check(states[i - 1], k)) continue; // 如果这个状态不合理，就跳过if (!confilt(k, j)) {               // 如果这个状态和上一行不冲突dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][k] + Integer.bitCount(j));}}}System.out.println();}return Arrays.stream(dp[m - 1]).max().getAsInt();}// 将一行的状态用一个int表示public int getMask(char[] state) {int res = 0;for (int i = 0; i < state.length; ++i) {if (state[i] == '.') res |= 1 << i;}return res;}// 检查状态x是否是状态state的子集，即是否可选 && 这个状态x本身合法public boolean check(int state, int x) {if ((state | x) != state) return false;      // 需要x是state的子集return op(x);       }// 检查x是否和y作为上一行冲突public boolean confilt(int x, int y) {for (int i = 0; i < 10; ++i) {if ((x >> i & 1) == 1) {    // 如果x这个位置有了// 那么y的相差一列的位置就不能有了if ((y >> i + 1 & 1) == 1 || (y >> i - 1 & 1) == 1) {return true;}}}return false;}// 检查这一行的状态本身是否合理，即检查是否有两个学生坐在挨边的位置上public boolean op(int x) {for (int i = 0; i < 9; ++i) {if ((x >> i & 1) == 1 && (x >> i + 1 & 1) == 1) return false;}return true;}
}

LCP 04. 覆盖🚹（TODO 二分图匹配 & 状态压缩DP）

https://leetcode.cn/problems/broken-board-dominoes/

限制：
1 <= n <= 8
1 <= m <= 8
0 <= b <= n * m

解法1——二分图匹配

在这里插入代码片

解法2——状态压缩DP

在这里插入代码片

1879. 两个数组最小的异或值之和（状态压缩DP）

https://leetcode.cn/problems/minimum-xor-sum-of-two-arrays/

提示：
n == nums1.length
n == nums2.length
1 <= n <= 14
0 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^7

class Solution {public int minimumXORSum(int[] nums1, int[] nums2) {int n = nums1.length;int[][] dp = new int[n + 1][1 << n];for (int i = 0; i <= n; ++i) Arrays.fill(dp[i], Integer.MAX_VALUE / 2);dp[0][0] = 0;// 枚举nums1的每个状态for (int i = 1; i < 1<<n; ++i) {int cnt = Integer.bitCount(i);// 枚举每个位置for (int j = 0; j < n; ++j) {if ((i >> j & 1) == 1) {dp[cnt][i] = Math.min(dp[cnt][i], dp[cnt - 1][i ^ (1<<j)] + (nums1[j] ^ nums2[cnt - 1]));}}}return dp[n][(1<<n) - 1];}
}

2172. 数组的最大与和（状态压缩DP）

https://leetcode.cn/problems/maximum-and-sum-of-array/

提示：
n == nums.length
1 <= numSlots <= 9
1 <= n <= 2 * numSlots
1 <= nums[i] <= 15

每个篮子可以放最多 2 个数字，那么可以分成有 2 组一模一样的篮子处理。

注意——要将篮子的使用集合作为状态。

class Solution {public int maximumANDSum(int[] nums, int numSlots) {int n = nums.length, m = 2 * numSlots, ans = 0;int[] dp = new int[1<<m];   // m个篮子的状态// 枚举每个篮子被选择情况for (int i = 1; i < 1<<m; ++i) {// 计算该放入那个num了int cnt = Integer.bitCount(i);if (cnt > n) continue;// 枚举每个被选择的篮子for (int j = 0; j < m; ++j) {if ((i >> j & 1) == 1) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i ^ (1<<j)] + (nums[cnt - 1] & (j % numSlots + 1)));}}ans = Math.max(ans, dp[i]);}return ans;}
}

Q4：2851. 字符串转换⭐

https://leetcode.cn/problems/string-transformation/

提示：
2 <= s.length <= 5 * 10^5
1 <= k <= 10^15
s.length == t.length
s 和 t 都只包含小写英文字母。

解法1——KMP + 矩阵快速幂优化 DP 🐂

https://leetcode.cn/problems/string-transformation/solutions/2435348/kmp-ju-zhen-kuai-su-mi-you-hua-dp-by-end-vypf/

计算有多少个 s 的循环同构字符串等于 t，记作 c。这可以用 KMP 等字符串匹配算法解决，即寻找 t 在 s+s（去掉最后一个字符）中的出现次数。（用KMP计算出 s + s 中有几个 t）
关于 KMP 可见：我一定要 学会KMP字符串匹配

下面使用动态规划来解决该问题——
定义 f[i][0] 表示 i 次操作后等于 t 的方案数，f[i][1] 表示 i 次操作后不等于 t 的方案数。

发现 DP 递推式可以写成矩阵乘法形式，因此可以使用矩阵快速幂来优化。（所谓矩阵快速幂，和普通快速幂的思想是一样的。）

快速幂可以完成从 $O(n)$ 到 $O(\log n)$ 的优化。

Q：为什么必须要使用矩阵快速幂？
A：因为 k 的数据范围很大。（$\log n$ 对应的数据范围是 $10^{18}$）

class Solution {final long MOD = (long)1e9 + 7;public int numberOfWays(String s, String t, long k) {int n = s.length();// kmp 求出 s+s(去掉最后一个字符) 中有几个 tint c = kmpSearch(s + s.substring(0, n - 1), t);// 递推矩阵long[][] m = {{c - 1, c},{n - c, n - 1 - c},};m = pow(m, k);      // 矩阵快速幂求结果// 根据 s==t？ 判断初始状态 对应的答案return s.equals(t)? (int) m[0][0]: (int) m[0][1];}// kmp 返回 s 中有多少个 tpublic int kmpSearch(String s, String t) {int[] next = getNext(s.toCharArray());int c = 0;for (int i = 0, j = -1; i < s.length(); ++i) {while (j != -1 && s.charAt(i) != t.charAt(j + 1)) j = next[j];if (s.charAt(i) == t.charAt(j + 1)) j++;if (j == t.length() - 1) {c++;j = next[j];    // 匹配成功之后，记得要更新 j = next[j]}}return c;}// 求 next 数组public int[] getNext(char[] s) {int n = s.length;int[] next = new int[n];next[0] = -1;for (int i = 1, j = -1; i < n; ++i) {while (j != -1 && s[i] != s[j + 1]) j = next[j];if (s[i] == s[j + 1]) j++;next[i] = j;}return next;}// 矩阵快速幂public long[][] pow(long[][] a, long n) {long[][] res = {{1, 0}, {0, 1}};for (; n > 0; n /= 2) {if (n % 2 == 1) {res = multiply(res, a);}a = multiply(a, a);}return res;}// 矩阵乘法public long[][] multiply(long[][] a, long[][] b) {long[][] c = new long[2][2];for (int i = 0; i < 2; ++i) {for (int j = 0; j < 2; ++j) {c[i][j] = (a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j]) % MOD;}}return c;}
}

解法2——找规律，无需矩阵快速幂（TODO）

https://leetcode.cn/problems/string-transformation/solutions/2435714/cjavapython-bu-xu-yao-ju-zhen-kuai-su-mi-cukc/

在这里插入代码片

[矩阵快速幂] 题目列表📕

见：【算法】矩阵快速幂优化动态规划

成绩记录

本次没有参加竞赛。