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从平均数到排名算法

平均数用更少的数字,概括一组数字。属于概述统计量、集中趋势测度、位置测度。中位数是第二常见的概述统计量。许多情况下比均值更合适。算术平均数是3中毕达哥拉斯平均数之一,另外两种毕达哥拉斯平均数是几何平均数和调和平均数。

算术平均

A M = 1 n ∑ i = 1 n x i AM = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i AM=n1i=1nxi

几何平均

G M = ( ∏ i n x i ) 1 n GM = (\prod_i^n x_i)^{\frac{1}{n}} GM=(inxi)n1

可以通过面积/体积运算来理解几何平均:两个实数a,b分别对应长方形的边和宽,则实数a,b的几何平均等于这样一个正方形的边长,这个正方形的面积与a、b组成的长方形的面积相等。

更多维度情况下类似。

调和平均

H M = n ∑ i = 1 n 1 x i HM = \frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}} HM=i=1nxi1n

两点间包含 n 段长度相同的路程,每段路程采用不同的速度 x i x_i xi完成,完成所有路程的平均速度就是x_i的调和平均。

平方平均数

Q M = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 QM = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2} QM=n1i=1nxi2

平均数之间的关系

H M ≤ G M ≤ A M ≤ Q M HM \le GM \le AM \le QM HMGMAMQM

关系的几何证明:

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排名算法

排名问题形式简单,也就是将一组对象根据其重要性加以排序,但其解答往往不是那么简单的,充满了悖论和谜题。目前看来排名问题吸引了越来越多的人的研究兴趣,原因可能包括信息量的指数增长,数据收集能力的增强。排名的对象五花八门,比如网页、视频、直播、新闻、股票、球队等等。

排名聚合的目的是通过某种算法将多个排名结果加以融合,产出最终的单一的更好的排名结果。平均法是比较常见的排名聚合的方法,下面讨论采用不同的均值算法对排名结果的影响。

  • 调和平均:
    • H M = 2 1 / x + 1 / y , ∂ H M ∂ x = 2 ( 1 1 + x / y ) 2 , ∂ H M ∂ y = 2 ( 1 1 + y / x ) 2 HM = \frac{2}{1/x+1/y},\frac{\partial HM}{\partial x} = 2(\frac{1}{1 + x/y})^2,\frac{\partial HM}{\partial y} = 2(\frac{1}{1 + y/x})^2 HM=1/x+1/y2,xHM=2(1+x/y1)2,yHM=2(1+y/x1)2
    • 自变量x, y中较小者的导数较大,平均值结果受到较小值的影响较大
  • 几何平均数
    • G M = x y , ∂ G M ∂ x = 1 2 y x , ∂ G M ∂ y = 1 2 x y GM = \sqrt{xy},\frac{\partial GM}{\partial x} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}, \frac{\partial GM}{\partial y} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}} GM=xy ,xGM=21xy ,yGM=21yx
    • 自变量x, y中较小者的导数较大,且在接近零的时候导数趋向无穷大,因此几何平均数在零附近的极小值极为敏感。
  • 算术平均数
    • A M = x + y 2 , ∂ A M ∂ x = 0.5 , ∂ A M ∂ y = 0.5 AM = \frac{x+y}{2},\frac{\partial AM}{\partial x} = 0.5, \frac{\partial AM}{\partial y} = 0.5 AM=2x+y,xAM=0.5,yAM=0.5
    • 自变量x, y导数恒定不变,不偏袒较小值和较大值
  • 平方平均数
    • Q M = x 2 + y 2 2 , ∂ Q M ∂ x = 2 1 + ( y / x ) 2 , ∂ Q M ∂ y = 2 1 + ( x / y ) 2 QM = \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}},\frac{\partial QM}{\partial x} = \sqrt{\frac{2}{1 + (y/x)^2}}, \frac{\partial QM}{\partial y} = \sqrt{\frac{2}{1 + (x/y)^2}} QM=2x2+y2 ,xQM=1+(y/x)22 ,yQM=1+(x/y)22
    • 自变量x, y中较大者的导数较大,平均值受较大值的影响较大

例子:考虑 x , y ∈ ( 0 , 1 ) x,y\in(0,1) x,y(0,1), 且固定 y = 0.8,观测均值随x的变化趋势(黑色:QM,橘色:AM,红色:GM,蓝色:HM)

  • x ∈ ( 0 , 0.2 ) x \in (0, 0.2) x(0,0.2) ,随着x的增大,平方平均数几乎持平,算术平均数已0.5的恒定速度增长,几何平均数增长速度最大,调和平均数增长速度紧次于几何平均数;在 x 远小于 y 的区域,平方平均数几乎不受x变化的影响,算术平均值以恒定的0.5的比例受到x变化的影响,几何平均数以远大于0.5的比例受x变化的影响,调和平均数的影响比例介于几何平均数和算术平均数之间。
  • x ∈ ( 0.2 , 0.8 ) x\in(0.2, 0.8) x(0.2,0.8),随着 x 的继续增大,对平方平均数的影响逐渐递增,算术平均数的变化率依旧不变,几何平均数从左侧接近0.5,调和平均数与几何平均数类似
  • x ∈ ( 0.8 , 1.0 ) x\in(0.8,1.0) x(0.8,1.0),随着 x 的继续增大,对平方平均数的影响继续递增,超过所有其他平均数,算术平均的变化率依然保持恒定,几何平均数变化率下降到0.5以下,但高于调和平均数。

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因此在对具有多个排序属性值的对象继续排序

  • 算术平均值对多属性值的量纲不敏感,选取的对象可能是个别属性特长的,也可以是综合能力(不存在短板属性)都不错的
  • 几何平均和调和平均值对较小属性值敏感,如果对象存在短板属性,则整体排名不会太高,因此选出来的对象倾向于综合能力不错,不存在明显短板的内容
  • 平方平均值对较大值比较敏感,因此选出的内容倾向于某些熟悉特长的对象,存不存在短板影响不是很大

上文的分析对设计排名算法的启发是:

  • 多个属性缺一不可,不能有短板的情况下,适宜几何平均数和调和调和平均数:比如信息检索中的指标f1,是模型查准率precision和查全率recall的调和平均数,原因是一个有使用价值的模型,不能存在明显的偏科,大部分情况下precision = 0.9, recal = 0.1的模型,不如precisio = 0.6,recall = 0.6的模型,查准率查全率太小的模不具有实用价值。几何平均和调和平均排名中,值域小的属性对结果的影响较大,值域大的熟悉对结果影响较小,一点层度上有些反直觉
  • 容许多个属性出现某些短板,适宜算术平均值:比如一般的考试成绩汇总,采用的是加法求和,其实等价于算术平均,算术平均允许某些科目有短板,只要考生有另外一些特长科目,整体排名也会不错,又或则考试没有明显的特长,但也没有明显的短板,排名也会不错。
  • 平方平均数鼓励特长,惩罚中庸,与几何平均和调和平均相对的另一个极端。

几个属性值同分布的情况下,几类排序算法是等价的。但拉齐分布的隐射过程,可能会导致失去了原始值的信息。

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