面试题08.05.递归算法

递归乘法。 写一个递归函数，不使用 * 运算符， 实现两个正整数的相乘。可以使用加号、减号、位移，但要吝啬一些。

示例1:

 输入：A = 1, B = 10
 输出：10

示例2:

 输入：A = 3, B = 4
 输出：12

提示:

1. 保证乘法范围不会溢出

我的答案：

一、信息

- 需要实现一个递归函数来完成两个正整数的乘法。
- 不可以使用`*`运算符。
- 可以使用加号、减号、位移。
- 需要尽可能地减少操作的使用，即要吝啬一些。

二、分析

#### 思考过程中问题的出现：
1. **如何不使用`*`运算符来实现乘法？**
   - 乘法可以看作是多次加法。例如，`3 * 4`可以看作是`4 + 4 + 4`。
   
2. **如何使用递归来实现乘法？**
   - 可以将一个数分解为多个较小的数的和，然后递归地计算这些较小的数的乘积。

3. **如何减少操作的使用？**
   - 可以使用位移操作来实现快速加法和减法。
   - 可以通过减少递归的深度来减少操作的使用。

#### 问题的答案：
1. **乘法的实现**：
   - 通过递归和加法来实现乘法。
   
2. **递归的使用**：
   - 将一个数分解为多个较小的数的和，然后递归地计算这些较小的数的乘积。

3. **减少操作的使用**：
   - 使用位移来实现快速加法和减法。
   - 通过优化递归的实现来减少递归的深度。

#### 思路：
1. **基础思路**：
   - 将乘法`A * B`看作是`A`加自己`B`次，或者`B`加自己`A`次。
   - 使用递归来实现多次加法。

2. **优化思路**：
   - 使用位移操作来实现快速加法和减法。
   - 优化递归的实现，减少递归的深度。

三、步骤（算法流程图）

1. **基准情况**：
   - 如果`A`或`B`中的任何一个为`1`，返回另一个数。
   - 如果`A`或`B`中的任何一个为`0`，返回`0`。

2. **递归步骤**：
   - 将`A`或`B`分解为两个较小的数的和，例如`A = A1 + A2`，`B = B1 + B2`。
   - 递归地计算这些较小的数的乘积，例如`A1 * B1`，`A1 * B2`，`A2 * B1`，`A2 * B2`。
   - 将这些乘积的结果相加，得到最终的乘积。

3. **优化**：
   - 使用位移操作来实现快速加法和减法。
   - 优化递归的实现，例如通过记忆化来避免重复计算。

这个流程图可以用伪代码来表示，如下：

function multiply(A, B):if A == 1:return Bif B == 1:return Aif A == 0 or B == 0:return 0A1, A2 = decompose(A)B1, B2 = decompose(B)product1 = multiply(A1, B1)product2 = multiply(A1, B2)product3 = multiply(A2, B1)product4 = multiply(A2, B2)return product1 + product2 + product3 + product

在实际实现时，可以进一步优化这个算法，例如通过记忆化来避免重复计算，或者通过位移操作来实现快速加法和减法。

四、具体实现

#### C语言实现

#include <stdio.h>int multiply(int A, int B) {if(A == 1) return B;if(B == 1) return A;if(A == 0 || B == 0) return 0;return B + multiply(A - 1, B);
}int main() {printf("%d\n", multiply(1, 10)); // 输出10printf("%d\n", multiply(3, 4)); // 输出12return 0;
}

#### C++语言实现

#include <iostream>class Solution {
public:int multiply(int A, int B) {if(A == 1) return B;if(B == 1) return A;if(A == 0 || B == 0) return 0;return B + multiply(A - 1, B);}
};int main() {Solution solution;std::cout << solution.multiply(1, 10) << std::endl; // 输出10std::cout << solution.multiply(3, 4) << std::endl; // 输出12return 0;
}

#### Java语言实现

public class Solution {public int multiply(int A, int B) {if(A == 1) return B;if(B == 1) return A;if(A == 0 || B == 0) return 0;return B + multiply(A - 1, B);}public static void main(String[] args) {Solution solution = new Solution();System.out.println(solution.multiply(1, 10)); // 输出10System.out.println(solution.multiply(3, 4)); // 输出12}
}

 五、检查错误

在实际编写代码时，需要注意以下几点：
1. **递归终止条件**：确保所有的基准情况都被正确处理，例如`A`或`B`为`1`或`0`的情况。
2. **递归调用**：确保递归调用的参数是正确的，避免无限递归。
3. **返回值**：确保在所有路径上都有返回值。

六、三种语言实现的异同

#### 相同点：
1. **逻辑结构**：三种语言的实现在逻辑结构上是相同的，都是基于递归的方法来实现乘法。
2. **基准情况**：三种语言都需要处理基准情况，即`A`或`B`为`1`或`0`的情况。
3. **递归调用**：三种语言都使用递归调用来实现乘法。

#### 不同点：
1. **语法**：三种语言的语法有所不同，例如函数定义和调用的语法。
2. **输出**：三种语言输出的方式不同，C语言使用`printf`，C++使用`cout`，Java使用`System.out.println`。
3. **类的使用**：在C++和Java中，代码是以类的形式组织的，而在C语言中，代码是以函数的形式组织的。

这些实现都是基于递归的简单实现，可以进一步优化，例如通过记忆化来避免重复计算，或者通过位移操作来实现快速加法和减法。

七、学习收获

1. **递归的应用**：
   - 通过这道题目，我们学习了如何使用递归来解决问题，特别是如何将一个问题分解成更小的子问题，然后递归地解决这些子问题。

2. **基础算法概念**：
   - 我们学习了乘法可以被看作是重复的加法，这是一个基础但重要的概念，帮助我们理解了算法是如何工作的。

3. **编程实践与思维训练**：
   - 编写代码来实现算法使我们得以实际操作来理解递归的工作原理，这对于培养逻辑思维和编程能力都是非常有帮助的。

4. **多语言实现与比较**：
   - 通过在不同的编程语言中实现相同的算法，我们学习了这些语言之间的相似性和差异性，这有助于我们更好地理解和掌握这些语言。

5. **问题分析与解决策略**：
   - 我们学习了如何分析问题，如何在给定的约束条件下寻找解决方案，这对于培养我们的问题解决能力和创新思维都是非常重要的。

6. **优化思维**：
   - 虽然这道题目的基础实现相对简单，但它提供了优化的可能性，例如通过记忆化来避免重复计算，这有助于培养我们的优化思维。

7. **算法的通用性**：
   - 这道题目展示了算法的通用性，即同一算法可以在不同的语言中实现，并且可以应用于不同的问题中。

8. **递归的优化与限制**：
   - 通过实践，我们可以更加深入地理解递归的优势与局限，例如递归可能导致的栈溢出问题，以及如何通过各种策略来优化递归。

### 总结：
这道题目不仅提供了对递归和基础算法概念的实践，还通过多语言实现展示了编程语言的异同，同时也提供了对问题分析、解决策略和优化思维的训练。这些都是计算机科学和编程领域中非常重要的知识和技能。

不熟悉递归的读者你们可以看看我的递归文章传送门7.6 函数的递归调用