线性代数(七) 矩阵分析

前言

从性线变换我们得出，矩阵和函数是密不可分的。如何用函数的思维来分析矩阵。

矩阵的序列

通过这个定义我们就定义了矩阵序列的收敛性。

研究矩阵序列收敛性的常用方法，是用《常见向量范数和矩阵范数》来研究矩阵序列的极限。

长度是范数的一个特例。事实上，Frobenius范数对应的就是长度。我们在线性空间中定义内积时，就是把这三条性质作为公理来定义内积的

收敛矩阵

在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列，关于这样的矩阵序列有如下概念和收敛定理：

r(A)是谱半径是一个矩阵的特征值绝对值中的最大值，用于描述矩阵的特征值的尺度大小。

矩阵级数

矩阵幂级数

1. 根据幂级数收敛半径定理求出收敛半径r
2. 根据《常见向量范数和矩阵范数》将矩阵A量化，看否在收敛区间中

• 即$a_k=k=>r=\underset{k\to \infty }{\lim }｜\frac{a_{k+1}}{a_k}｜=｜\frac{k+1}{k}｜=1$
• 由范式2得到$p(A)=\frac{5}{6}$

Neumann级数

• 注1：假设E-A不可逆，那么E-A有0特征值，A的特征值为1。而A的谱半径小于1，矛盾，故E-A可逆
• 注2：A的谱半径小于1，由定理3可知A为收敛矩阵。那么 $A^{k+1}$ 就趋近于0（k趋于无穷）
  

矩阵函数

矩阵函数的计算

常用的有以下几种方法

待定系数法

• 求矩阵A的特征多项式$|\lambda I-A|$
• 利用Hamilton-Cayley定理，求出A的一次性化零多项式$\psi (A)=0$ - 求解$f(A)$多项式
• 当$A=\lambda ，即\psi (A)=f(A)$

• sin的导注是cos
• $e^x$的导数是它本身的导数,因此，$e^{(}2t)的导数是2e^{(}2t)$。

利用相似对角化

利用Jordan标准形

主要参考

《常见向量范数和矩阵范数》
《矩阵分析》
《7.2.3幂级数收敛半径定理》
《矩阵序列与矩阵级数》
《矩阵函数的常见求法》