【考研数学】概率论与数理统计 —— 第三章 | 二维随机变量及其分布（2，常见的二维随机变量及二维变量的条件分布和独立性）

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引言

有了上文关于二维随机变量的基本概念与性质后，我们可以往后继续学习更加深入的内容。

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四、常见的二维随机变量

4.1 二维均匀分布

设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，$D$ 为 $xOy$ 平面的有限区域，其面积为 $A$ ，若 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A},& (x,y)\in D\\ 0,& (x,y)\notin D\end{array},$$ 称 $(X,Y)$ 为区域 $D$ 上的服从均匀分布。

可以回想一下一维的均匀分布，它是长度的倒数。

4.2 二维正态分布

这个我就不手敲了，太长啦，根本记不住。

其中，$\rho$ 为两个随机变量的相关系数。

若 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho )$ ，则 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2).$ 当 $a^2+b^2\ne 0$ 时，有 $aX+bY$ 服从一维正态分布。随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立的充要条件是两个变量不相关，即 $\rho \ne 0$ 。

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五、二维随机变量的条件分布

5.1 二维离散型随机变量的条件分布律

设 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量，其联合分布律为 P { X = x i , Y = y j } = p i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ) . P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n). P{X=xi​,Y=yj​}=pij​(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n). （1）对某个固定的 $i$ ，若 P { X = x i } > 0 P\{X=x_i\}>0 P{X=xi​}>0 ，则称 P { Y = y j ∣ X = x i } = P { X = x i , Y = y j } P { X = x i } = p i j p i ⋅ ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) P\{Y=y_j | X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}(j=1,2,\cdots,n) P{Y=yj​∣X=xi​}=P{X=xi​}P{X=xi​,Y=yj​}​=pi⋅​pij​​(j=1,2,⋯,n) 为在 $X=x_i$ 条件下随机变量 $Y$ 的条件分布律。

（2）对某个固定的 $j$ ，若 P { Y = y j } > 0 P\{Y=y_j\}>0 P{Y=yj​}>0 ，则称 P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } = p i j p ⋅ j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ) P\{X=x_i | Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}(i=1,2,\cdots,m) P{X=xi​∣Y=yj​}=P{Y=yj​}P{X=xi​,Y=yj​}​=p⋅j​pij​​(i=1,2,⋯,m) 为在 $Y=y_i$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布律。

5.2 二维连续型随机变量的条件分布

设 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，联合密度函数为 $f(x,y)$ ，变量 $X,Y$ 的边缘密度函数分别为 $f_X(x),f_Y(y).$

对固定的 $X=x$ ，若 $f_X(x)>0$ ，称 P { Y ≤ y ∣ X = x } = ∫ − ∞ y f ( x , y ) f X ( x ) d y P\{Y\leq y | X=x\}=\int_{-\infty}^y\frac{f(x,y)}{f_X(x)}dy P{Y≤y∣X=x}=∫−∞y​fX​(x)f(x,y)​dy 为在 $X=x$ 条件下 $Y$ 的条件分布函数，$\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$ 为条件密度函数。对于固定的 $Y=y$ ，可同理得到类似结论。

我看老汤也没给证明，自己也没想明白为什么，就上网搜了下，发现是做了近似处理。

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六、随机变量的独立性

6.1 基本概念

设 $A,B$ 为两个随机事件，若 $P(AB)=P(A)P(B)$ ，称事件 $A,B$ 独立；设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，令 { X ≤ x } = A , { Y ≤ y } = B \{X\leq x\}=A,\{Y\leq y\}=B {X≤x}=A,{Y≤y}=B ，则 $P(AB)=P(A)P(B)$ 等价于 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } P { Y ≤ y } = F X ( x ) F Y ( y ) . F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}=F_X(x)F_Y(y). F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}=FX​(x)FY​(y). 于是有如下定义：

设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，$F(x,y)$ 为其联合分布函数，$F_X(x),F_Y(y)$ 分别为 $X,Y$ 的边缘分布函数，若 $F(x,y)=F_X(x)=F_Y(y)$ ，称变量 $X,Y$ 相互独立。同理可扩展到 $n$ 维。

6.2 随机变量独立的等价条件

设 $(X_1,X_2.\cdots ,X_m)$ 与 $(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n)$ 相互独立，则由 $(X_1,X_2.\cdots ,X_m)$ 构成的函数 $\phi (X_1,X_2.\cdots ,X_m)$ 与 $(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n)$ 构成的函数 $\phi (Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n)$ 相互独立。

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写在最后

其实如果一维的能掌握好一些，二维的可以类比来学，下一篇来说说二维随机变量的最后一个内容 —— 二维随机变量函数的分布。