动态规划算法（1）--矩阵连乘和凸多边形剖分

目录

一、动态数组

1、创建动态数组

2、添加元素

3、删除修改元素

4、访问元素 

5、返回数组长度

6、for each遍历数组 

二、输入多个数字 

1、正则表达式

2、has.next()方法

三、矩阵连乘

1、什么是矩阵连乘？

2、动态规划思路

3、手推m和s矩阵

4、完整代码

5、备忘录方法

四、凸多边形剖分

1、凸多边形形三角剖分原理

2、完整代码 

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一、动态数组

1、创建动态数组

        创建动态数组ArrayList，先调用ArrayList库，之后动态创建语句如下，括号内填写数组元素个数，不知道可以不填。

    import java.util.ArrayList;ArrayList<Integer> num = new ArrayList<>();

2、添加元素

        使用函数add添加元素。如:添加元素1。

    num.add(1);

        如果创建一个ArrayList num与list1相同（num和list1同为ArrayList类型）

    ArrayList<Integer> num = new ArrayList<>(list1);

3、删除修改元素

       使用函数remove删除特定索引的元素。如:删除索引为1的元素。

    num.remove(1);

        使用函数set修改特定索引的元素。如:将索引为1的元素修改为"java"。

    num.set(1,"java");

4、访问元素 

        使用函数get返回特定索引的元素。如:返回索引1的元素并打印。

    system.out.println(num.get(1));

5、返回数组长度

        使用函数size（）返回数组长度。如:返回数组num长度并打印

    system.out.println(num.size())

6、for each遍历数组 

        i是遍历的数组每一个值，num是数组名。

    for(int i:num){System.out.println(i);}

二、输入多个数字 

1、正则表达式

        不需要import其他的东西。输入一串以空格为间隔的数字，字符串形式，经过正则表达式拆解，存入num动态数组中。

        如果数字之间以逗号为间隔，则需要将匹配改为"，\\s+"。

    import java.util.ArrayList;ArrayList<Integer> num = new ArrayList<>();String input= new Scanner(System.in).nextLine();String[] numbers=input.split("\\s+");for (String number : numbers) {num.add(Integer.parseInt(number));}

2、has.next()方法

        该方法存在弊端，不能退出循环。

    import java.util.ArrayList;ArrayList<Integer> num = new ArrayList<>();Scanner scanner=new Scanner(System.in);int n;int[] num;while(scanner.hasNext()) {n=scanner.nextInt();num.add(n);}

三、矩阵连乘

1、什么是矩阵连乘？

        不同的结合方式，可以导致不同的数乘次数，因为乘法远大于加法量级，所以加法可以忽视。那什么样的括号选择是可以获得最少的数乘次数呢？

        如果一味的进行枚举，寻找最优的数乘次数需要指数级复杂度。显然这种方式，在较大的个数面前利用计算机是不能解决的。

2、动态规划思路

（1）首先定义几个结构，以便后续进行理解。

        A[1:n]，代表1到n个矩阵的连乘积。

        A[i:j]的最少数乘次数记为m[i][j]。

        p数组为矩阵链的值。比如30*35和35*15两个矩阵的矩阵链为30,35,15。

        s数组记录断开位置。

（2）矩阵连乘遵循最优子结构，也就是说矩阵连乘的各子结构都是最优的。

        假设A[1:4]的最优子结构是  ，那么A[1:2]的最优子结构一定是。

        根据上面两条，我们能得出A[i:j]的最少数乘次数记为m[i][j]，

3、手推m和s矩阵

        m矩阵和s矩阵几乎同步计算，仅保留上三角形，主对角线均为全0，依次按对角线进行计算，每计算完一条对角线向右上平移一条对角线。

        下面给出m[1][3]和s[1][3]的计算，可以看到从1断开（）小于从2分割()的值，所以m[1][3]选择较小者7875，s[1][3]=1。

        如果求解A[1:6]的最优解的匹配方式，倒序执行上面s步骤。

4、完整代码

import java.util.Scanner;
import java.util.ArrayList;
public class matrixplusnew {public static void main(String[] args){ArrayList<Integer> num = new ArrayList<>();String input= new Scanner(System.in).nextLine();String[] numbers=input.split("\\s+");for (String number : numbers) {num.add(Integer.parseInt(number));}int size=num.size()-1;//6*6int [][] m=new int[size+1][size+1];int [][] s=new int[size+1][size+1];MatrixChain(num,m,s);//输出m数组for(int i=1;i<size+1;i++){for(int j=1;j<size+1;j++){System.out.print(m[i][j]);System.out.print("\t");}System.out.println("");}//输出s数组for(int i=1;i<size+1;i++){for(int j=1;j<size+1;j++){System.out.print(s[i][j]);System.out.print("\t");}System.out.println("");}//输出A[1:6]的匹配方式Traceback(1, 6, s);}//m数组和s数组生成public static void MatrixChain(ArrayList<Integer>p,int [][]m,int [][]s) {int n = p.size() - 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {m[i][i] = 0;}for (int r = 2; r <= n; r++) {for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {int j = i + r - 1;    //这个位置非常巧妙，可以确保对角线依次执行m[i][j] = m[i + 1][j] + p.get(i - 1) * p.get(i) * p.get(j);//由于第二条对角线，依赖于第一条对角线计算m[i][i],m[i][i]值为0，故省略。s[i][j] = i;for (int k = i + 1; k < j; k++){int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p.get(i - 1) * p.get(k) * p.get(j);if (t < m[i][j]) {m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}}}//获得括号匹配方式private static void Traceback(int i,int j,int[][]s){if(i==j)return;Traceback(i, s[i][j],s);    //单独写每两个子结构的最优解，可以供读者合成匹配方式Traceback(s[i][j]+1,j,s);System.out.print("A"+i+", "+s[i][j]);System.out.println(" and A"+(s[i][j]+1)+", "+j);}
}

5、备忘录方法

        备忘录算法自顶向下计算，但他不够灵活，每次计算完整矩阵链的最优次序。其中p，m数组都为类外数组，所有函数均可使用。通过减少重复计算，减少时间复杂度。

public static int memoizedmatrixChain(int n){for (int i=0;i<=n;i++){for(int j=0;j<=n;j++){m[i][j]=0;}}//初始化备忘录数组return lookupChain(1,n);
}
public static lookupChain(int i,int j){if(m[i][j]>0)return m[i][j];//如果该项子问题有记录，返回该记录if(i==j)return 0;//如果相乘的两个矩阵相等，则返回0int u=lookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]p[j];//递归调用s[i][j]=i;//存储最佳断点for(int k=i+1;k<j;k++){//这里面将断点从i+1开始，可以断链的点直到j-1为止int t=lookupChain(i,k)+lookupChain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];if(t<u){u=t;s[i][j]=k;}}m[i][j]=u;return u;
}

四、凸多边形剖分

        凸多边形三角剖分问题类似于矩阵连乘，都是利用动态规划分成子问题，对子问题递归求解。

1、凸多边形形三角剖分原理

        通过不同的拆分方法，假设不同边有不同的权值，那么或者不同的组合方式有不同的函数映射，那么不同的三角剖分方式就会存在不同的解，那么最优解怎么求呢？

        类比于矩阵连乘的规律，我们也对不同的组合方式加括号表示。最后凸多边形剖分问题也表示为多个子问题叠加的解。

        那么根据矩阵连乘，有下面这种最优解的产生形式，可以根据不同的加权的关系写出函数关系，变成矩阵连乘问题。

2、完整代码 

public class MinWeightTriangulation {public static void main(String [] args){int size=5;int m[][]=new int[size+1][size+1];int s[][]=new int[size+1][size+1];//定义权值int num[][]= {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};Triangle(num,m,s);for(int i=1;i<size+1;i++){for(int j=1;j<size+1;j++){System.out.print(m[i][j]);System.out.print("\t");}System.out.println("");}Traceback(1, 5, s);}//计算最优值public static void Triangle(int[][]num,int[][]m,int[][]s){int n=5;for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;for(int r=2;r<=n;r++){for(int i=1;i<=n-r+1;i++){int j=i+r-1;m[i][j]=m[i+1][j]+Weight(i-1, i, j, num);s[i][j]=i;for(int k=i+1;k<j;k++){int t=m[i][k]+m[k+1][j]+Weight(i-1, k, j, num);if(t<m[i][j]){m[i][j]=t;s[i][j]=k;}}}}}//权重计算public static int Weight(int i,int j,int k,int[][]num){return num[i][j]+num[j][k]+num[i][k];}//返回匹配方式public static void Traceback(int i,int j,int[][]s){if(i==j)return;Traceback(i, s[i][j],s);Traceback(s[i][j]+1,j,s);System.out.print("A"+i+", "+s[i][j]);System.out.println(" and A"+(s[i][j]+1)+", "+j);}
}