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1.填空题 进制转换Oct.2023

原题

部分可能会有用处的知识:

p p p进制转十进制:

假设有一个 p p p进制数,个位是 a 0 a_0 a0,向高位依次是 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an,向低位依次是 b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b k b_1,b_2,b_3,...,b_k b1,b2,b3,...,bk,那么它的整数部分就相当于 10 10 10进制中的
Σ i : 0 → n a i p i = a 0 × p 0 + a 1 × p 1 + . . . + a n × p n \Sigma_{i:0\rightarrow n}a_ip^i=a_0\times p^0+a_1\times p^1+...+a_n\times p^n Σi:0naipi=a0×p0+a1×p1+...+an×pn
相应的,小数部分是
Σ i : 1 → n b i p − i = b 1 × p − 1 + b 2 × p − 2 + . . . + b n × p − n \Sigma_{i:1\rightarrow n}b_ip^{-i}=b_1\times p^{-1}+b_2\times p^{-2} +...+b_n\times p^{-n} Σi:1nbipi=b1×p1+b2×p2+...+bn×pn
十进制转 p p p进制以此类推。

例如,将 10 0 10 100_{10} 10010转换为 N 16 N_{16} N16

  1. 100 100 100除以 16 16 16,得商 6 6 6,余数 4 4 4 ∴ \therefore 个位是 4 4 4
  2. 再将 6 6 6除以 16 16 16,得商 0 0 0,余数 6 6 6 ∴ 4 \therefore 4 4的高一位是 6 6 6
  3. ∴ 10 0 10 = 6 4 16 \therefore 100_{10}=64_{16} 10010=6416

那么,如果想把 p p p进制和 q q q进制相转换,只需要借助十进制过渡一下即可。

在这里,我们约定, A = 10 , B = 11 , C = 12 , . . . , Z = 35 A=10,B=11,C=12,...,Z=35 A=10,B=11,C=12,...,Z=35

102 4 1048576 1024^{1048576} 10241048576进制下的 2 0 + 2 1 + 2 2 + . . . + 2 10485759 2 10485760 \dfrac{2^0+2^1+2^2+...+2^{10485759}}{2^{10485760}} 21048576020+21+22+...+210485759转为 [ ( 102 4 524288 + 1 ) ( 102 4 262144 + 1 ) ( 102 4 131072 + 1 ) ( 102 4 65536 + 1 ) . . ( 1024 − 1 ) + 2 ] [(1024^{524288}+1)(1024^{262144}+1)(1024^{131072}+1)(1024^{65536}+1)..(1024-1)+2] [(1024524288+1)(1024262144+1)(1024131072+1)(102465536+1)..(10241)+2]进制下的数字。
(为书写方便,约定 α = 1024 , β = 102 4 1048576 \alpha = 1024,\beta = 1024^{1048576} α=1024,β=10241048576, γ 1 = β − 1 \gamma_1=\beta-1 γ1=β1, γ i = β − i \gamma_i=\beta-i γi=βi。例如, 1024 × 1025 + 1024 1024\times1025+1024 1024×1025+1024 1025 1025 1025进制中可以写作 α α \alpha\alpha αα


对于 p p p进制显然 1 p − 1 = 0.1111111.... \frac{1}{p-1}=0.1111111.... p11=0.1111111....

证明

p p p进制中,
0.11111... = p − 1 + p − 2 + . . . L e t S = p − 1 + p − 2 + . . . ∴ p S = S + 1 , p S − S = 1 ∴ ( p − 1 ) S = 1 ∴ S = 1 p − 1 0.11111...=p^{-1}+p^{-2}+...\\ Let\ S=p^{-1}+p^{-2}+...\\ \therefore pS=S+1,pS-S=1\\ \therefore (p-1)S=1\\ \therefore S=\frac{1}{p-1} 0.11111...=p1+p2+...Let S=p1+p2+...pS=S+1,pSS=1(p1)S=1S=p11

p = 102 4 1048576 p=1024^{1048576} p=10241048576,化简原分式得 p − 1 p \frac{p-1}{p} pp1
s = p + 1 = 102 4 1048576 + 1 , p = s − 1 s=p+1=1024^{1048576}+1,p=s-1 s=p+1=10241048576+1,p=s1,原问题等同于求 s s s进制下的 s − 2 s − 1 \frac{s-2}{s-1} s1s2
那么答案显然为 ( 102 4 1048576 − 1 ) × 0.1111... = 0. γ 1 γ 1 γ 1 . . . (1024^{1048576}-1)\times0.1111...=0.\gamma_1\gamma_1\gamma_1... (102410485761)×0.1111...=0.γ1γ1γ1...

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