1.填空题 进制转换Oct.2023

原题

部分可能会有用处的知识：

$p$进制转十进制：

假设有一个$p$进制数，个位是$a_0$，向高位依次是$a_1,a_2,...,a_n$，向低位依次是$b_1,b_2,b_3,...,b_k$，那么它的整数部分就相当于$10$进制中的
$${\Sigma }_{i:0\to n}{a}_i{p}^i=a_0\times p^0+a_1\times p^1+...+a_n\times p^n$$
相应的，小数部分是
$${\Sigma }_{i:1\to n}{b}_i{p}^{-i}=b_1\times p^{-1}+b_2\times p^{-2}+...+b_n\times p^{-n}$$
十进制转$p$进制以此类推。

例如，将$100_{10}$转换为$N_{16}$：

1. 将$100$除以$16$，得商$6$，余数$4$；$\therefore$个位是$4$
2. 再将$6$除以$16$，得商$0$，余数$6$；$\therefore 4$的高一位是$6$。
3. $\therefore 100_{10}=64_{16}$。

那么，如果想把$p$进制和$q$进制相转换，只需要借助十进制过渡一下即可。

在这里，我们约定，$A=10,B=11,C=12,...,Z=35$

将$1024^{1048576}$进制下的$\frac{2^0+2^1+2^2+...+2^{10485759}}{2^{10485760}}$转为$[(1024^{524288}+1)(1024^{262144}+1)(1024^{131072}+1)(1024^{65536}+1)..(1024-1)+2]$进制下的数字。
（为书写方便，约定$\alpha =1024,\beta =1024^{1048576}$,${\gamma }_1=\beta -1$,${\gamma }_i=\beta -i$。例如，$1024\times 1025+1024$在$1025$进制中可以写作$\alpha \alpha$）

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解

对于$p$进制显然$\frac{1}{p-1}=\mathrm{0.1111111....}$

证明

$p$进制中，
$$\begin{gathered} \mathrm{0.11111...}=p^{-1}+p^{-2}+... \\ LetS=p^{-1}+p^{-2}+... \\ \therefore pS=S+1,pS-S=1 \\ \therefore (p-1)S=1 \\ \therefore S=\frac{1}{p-1} \end{gathered}$$

令$p=1024^{1048576}$，化简原分式得$\frac{p-1}{p}$
令$s=p+1=1024^{1048576}+1,p=s-1$，原问题等同于求$s$进制下的$\frac{s-2}{s-1}$。
那么答案显然为$(1024^{1048576}-1)\times \mathrm{0.1111...}=0.{\gamma }_1{\gamma }_1{\gamma }_1...$。