学习记忆——数学篇——案例——算术——整除特点

理解记忆法

对于数的整除特征大家都比较熟悉：比如4看后两位（因为100是4的倍数），8看后三位（因为1000是8的倍数），5末尾是0或5，3与9看各位数字和等等，今天重点研究一下3,9,7,11,13的整除特征（重点是三位截断法的原理）。继续用字母来代替数来推导公式，弄清原理又锻炼代数与证明问题能力。

①3，9的整除特征（各位数字和）
设三位数abc（a,b,c等代表0-9的数字，以下同样），用位值原理拆开
100a+10b+c
=(99+1)a+(9+1)b+c
=99a+9b+a+b+c

由于前两项都是9的倍数，不影响除以9的余数，所以a+b+c就是这个数除以9的余数。如果除以9余0，那么这个数就是9的倍数。

②11的整除特征（奇位数字和与偶位数字和的差）

把一个数由右边向左边数，如果奇位上数字和与偶位上数字和的差，是11的倍数(包括0)，那么这个数就是11的倍数。
首先10的奇数次方减去1就是11的倍数，例如10000-1=9999，100-1=99
其次10的偶数次方加上1也是11的倍数，例如1000+1=1001，10+1=11

设五位数abcde，用位值原理拆开
10000a+1000b+100c+10d+e=9999a+1001b+99c+11d+a-b+c-d+e

前4项都是11的倍数，不影响除以11的余数。所以如果a-b+c-d+e是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。
（由于是减法，可能出现负数，可以加上11的倍数变成非负的再判断；或者用偶数位和减去奇数位和，用它们的差判断就可以）

③三位截断法（后三位截断作差）的原理（7,11,13）

这种方法利用1001=7×11×13

设六位数abcdef，用位值原理拆开
1000abc+def=1001abc-abc+def
第一项是1001的倍数，可以不考虑它。
只看def-abc即可（如果为负数，可以用abc-def来判断，即def与abc的差）
例如def与abc的差是13的倍数，那么abcdef就是13的倍数。
如果位数比较大可以多截几次

例：判断593654321是否是7，11，13的倍数。
593654-321=593333；593-333=260；
因为260不是7，11的倍数，
所以593654321不是7，11的倍数。
因为260是13的倍数，
所以593654321就是13的倍数。