数据结构与算法入门

数据结构概述

• 数据结构可以简单的理解为数据与数据之间所存在的一些关系，数据的结构分为数据的存储结构和数据的逻辑结构。

逻辑结构

• 集合结构：数据元素同属于一个集合，他们之间是并列关系，无其他的关系；可以理解为中学时期学习的集合，在一个范围之内，有很多的元素，元素间没有什么关系
• 线性结构：元素之间存在着一对一的关系；可以理解为每个学生对应着一个学号，学号与姓名就是线性结构
• 树形结构：元素之间存在着一对多的关系，可以简单理解为家庭族谱一样，一代接一代
• 图形结构：元素之间存在多对多的关系，每一个元素可能对应着多个元素，或被多个元素对应，网状图

存储结构

• 顺序存储结构：就是将数据进行连续的存储，我们可以将它比喻成学校食堂打饭排队一样，一个接着一个；
• 链式存储结构：不是按照顺序存储的，后一个进来的数只需要将他的地址告诉前一个节点，前一个节点中就存放了它后面那个数的地址，所以最后一个数的存储地址就是为null；可以将这种结构比喻成商场吃饭叫号，上面的号码比喻成是地址，你可以之后后面的地址是什么，上面的其他内容就是该节点的内容；
• 区别：
  • 顺序存储的特点是查询快，插入或者删除慢
  • 链式存储的特点是查询慢，插入或者删除快

算法概述

• 同一问题不同解决方法
• 通过时间和空间复杂度判断算法的优劣
• 算法没有最好的，只有最合适的，学习算法是为了积累学习思路，掌握学习思路，并不是为了解决某问题去记住某种算法；对于时间复杂度与空间复杂度，现在大多数开发情况下，我们都在使用以空间换时间，耗费更多的内存，来保证拥有更快的速度。
• 各排序算法复杂度及稳定性：
  

如何理解“大O记法”

对于算法进行特别具体的细致分析虽然很好，但在实践中的实际价值有限。对于算法的时间性质和空间性质，最重要的是其数量级和趋势，这些是分析算法效率的主要部分。而计量算法基本操作数量的规模函数中那些常量因子可以忽略不计。例如，可以认为 3n^2 和 100n^2 属于同一个量级，如果两个算法处理同样规模实例的代价分别为这两个函数，就认为它们的效率“差不多”，都为n^2级。

时间复杂度

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度,记为T(n)。n 称为问题的规模，当 n 不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模 n 的某个函数,用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当 n 趋近于无究大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

有时候，算法中基本操作重复执行的次数还随问题的输入数据集不同而不同,如在冒泡排序中，输入数据有序而无序，结果是不一样的。此时，我们计算平均值。

时间复杂度基本计算规则：

• 基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)
• 顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
• 循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
• 分支结构，时间复杂度取最大值
• 判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略
• 在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

常用时间复杂度：

• 注意：经常将log2n（以2为底的对数）简写成logn

常见时间复杂度之间的关系：

• 所以时间消耗由小到大为：O(1) < O(log n) < O(n) < O(nlog n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

案例1：

count = 0;				      (1)for(i = 0;i <= n;i++)	  (2)for(j = 0;j <= n;j++) (3)count++;          (4)

• 语句（1）执行1次
• 语句（2）执行n次
• 语句（3）执行n^2次
• 语句（4）执行n^2次
• 时间复杂度为：T(n) = 1+n+n^2+n^2 = O(n^2)

案例2：

a = 1; 						(1)
b = 2;						(2)
for(int i = 1;i <= n;i++) { (3)int s = a + b;			(4)b = a;					(5)a = s;					(6)
}	

• 语句（1）、（2）执行1次
• 语句（3）执行n次
• 语句（4）、（5）、（6）执行n次
• 时间复杂度为：T(n) = 1+1+4n = o(n)

案例3：

i = 1;		 (1)
while(i<n) {i = i*2; (2)
}	

• 语句（1）的频度是1
• 设语句（2）的频度是f(n)，则2f(n)<=n;f(n)<=log2n,取最大值f(n) = log2n
• 时间复杂度为：T(n) = O(log2n)

空间复杂度

• 算法的空间复杂度计算公式：S(n) = 0( f(n) )，其中 n 为输入规模，f(n)为语句关于 n 所占存储空间的函数

• 一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间，包括三个方面

  • 存储算法本身所占用的存储空间
  • 算法的输入输出数据所占用的存储空间
  • 算法在运行过程中临时占用的存储空间

案例：指定的数组进行反转，并返回反转的内容

解法一：

public static int[] reverse1(int[] arr) {int n = arr.length; //申请4个字节int temp; //申请4个字节for (int start = 0, end = n - 1; start <= end; start++, end--) {temp = arr[start];arr[start] = arr[end];arr[end] = temp;}return arr;
}

• 空间复杂度为：S(n) = 4+4 = O(8) = O(1)

解法二：

public static int[] reverse2(int[] arr) {int n = arr.length; //申请4个字节int[] temp = new int[n]; //申请n*4个字节+数组自身头信息开销24个字节for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {temp[n - 1 - i] = arr[i];}return temp;
}

• 空间复杂度为：S(n) = 4+4n+24 = O(n+28) = O(n)

根据大O推导法则，算法一的空间复杂度为0(1),算法二的空间复杂度为0(n)，所以从空间占用的角度讲，算法一要优于算法二。

由于java中有内存垃圾回收机制，并且jvm对程序的内存占用也有优化(例如即时编译) , 我们无法精确的评估一个java程序的内存占用情况，但是了解了java的基本内存占用，使我们可以对java程序的内存占用情况进行估算。

由于现在的计算机设备内存一般都比较大，基本上个人计算机都是4G起步，大的可以达到32G ，所以内存占用一般情况下并不是我们算法的瓶颈，普通情况下直接说复杂度，默认为算法的时间复杂度。

但是，如果你做的程序是嵌入式开发，尤其是一些传感器设备上的内置程序,由于这些设备的内存很小, 一般为几kb，这个时候对算法的空间复杂度就有要求了，但是一般做java开发的，基本上都是服务器开发, 一般不存在这样的问题。