学习记忆——数学篇——案例——代数——方程——一元二次方程

重点记忆法

$a{x}^2+bx+c=0$
整体可以由： 根（多少，正负，区间） $⟹$ $△$ $⟹$ 求根公式$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$ $⟹$ 韦达定理$⟹$ 判断两根符号情况，即根多少由$△$判断，根需要求根公式，求根公式可推导韦达定理，韦达定理可判断两根符号情况。

1.根
$⟹$ 根的多少：$△$＞0，方程有两根，$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$，抛物线与x轴有两个交点 ；$△$＝0，方程有一根，$x$为$-\frac{b}{2a}$，抛物线与x轴有一个交点；$△$＜0，方程无根，抛物线与x轴没有交点；
$⟹$ 根的正负：两正根（$△\ge 0,x_1+x_2＞0,x_1{x}_2＞0$）；两负根（$△\ge 0,x_1+x_2＜0,x_1{x}_2＞0$）；异号根（$x_1{x}_2＜0$）
$⟹$ 根的区间：看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看$△$）、看端点（根所分布区问的端点）。or画图+三要素，$△$、对称轴和端点代入。
$⟹$ 根与系数关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$。

2.$△$判别式
$⟹$ $b^2-4ac$
$⟹$ $△$＞0，方程有两根，$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$，抛物线与x轴有两个交点
$⟹$ $△$＝0，方程有一根，$x$为$-\frac{b}{2a}$，抛物线与x轴有一个交点
$⟹$ $△$＜0，方程无根，抛物线与x轴没有交点
$⟹$ $y$的最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$ ＝$\frac{－△}{4a}$
$⟹$ 弦长公式为$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ 顶点△面积为$\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$

3.求根公式
$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1\cdot x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ast \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}$
$⟹$ 弦长公式为$|x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ 顶点△面积为$\frac{1}{2}\cdot |y|\cdot |x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|\ast \frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$

4.韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$，$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$
$⟹$ 求出关于两个根的对称轮换式的数值
$⟹$ 判断两根符号情况
$⟹$ 一元三次方程$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$的韦达定理：$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$，$x_1{x}_3+x_2{x}_3+x_1{x}_3=\frac{c}{a}$
$⟹$

理解记忆法

求根公式推导

https://www.bilibili.com/read/cv4538376/

韦达定理、弦长公式、顶点△面积推导

韦达定理、弦长公式、顶点△面积由求根公式推导而来
$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a}$
$⟹$ 韦达定理为$x_1\cdot x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ast \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}$
$⟹$ 弦长公式为$|x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
$⟹$ 顶点△面积为$\frac{1}{2}\cdot |y|\cdot |x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|\ast \frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△}{)}^3}{8a^2}$

or

由韦达定理的结论和完全平方公式可推出：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$$=\frac{\sqrt{△}}{|a|}$

根的区间之理解

结合图像，就很容易理解了，所以“根的区间判定”，结合图像，是最快的。

以下是其他角度总结，但是缺少图像，不怎么好快速理解：
区问根问题，常使用 “ 两点式 ” 解题法，即看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看$△$）、看端点（根所分布区问的端点）。
为了讨论方便，只讨论$a＞0$的情况，考试时，若a的符号不定，则需要讨论开口方向。

归类记忆法

根的分布问题：正负根问题和区间根问题

记忆宫殿法

谐音记忆法

求根公式$x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$很重要

快速秒杀法

图形结合法

结合图像，就很容易理解了，所以“根的区间判定”，结合图像，是最快的。
那怎么记忆住这种方式呢
“根的区间”判定：画图+三要素，$△$、对称轴和端点代入。
or
根的区间：看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看$△$）、看端点（根所分布区问的端点）。即：遇到根的区间，就联想到横纵坐标，即需要确定横坐标的位置，纵坐标是否存在，但是有这两个还不够，需要第三者加入，即端点代入后的正负，可以决定整个图像的位置。

转图像记忆法

结合字母编码

学习记忆——英语——字母编码

1. 求根公式
   $x_{1,2}$=$\frac{-b\pm \sqrt{△}}{2a}$，很重要，可以推导出韦达定理等，故事如下：两个苹果（a）上面有个士兵（±），左手拿着香蕉（b）挡住箭（-），右边是一座桥，桥底有一个三角形。
   

2. 一元二次方程的根：$x=-\frac{b}{2a}$：2座桥，桥上有一个香蕉，桥底有两个苹果。
   或者：两颗苹果上面有根香蕉，要想托稳香蕉，得有两个横版（一个负号，一个除号）。
   
   
   或者两个苹果上面有一座桥和一根香蕉
   

3. $y=a{x}^2+bx+c$的最值：$\frac{4ac-b^2}{4a}$ ＝—$\frac{△}{4a}$
4颗苹果上面有两座桥，桥上有一个三角形。

3. 韦达定理

x为剪刀，a苹果，b香蕉，c月亮

剪头➕剪刀可以换，苹果顶着负香蕉
剪刀，剪刀，剪刀，可以换，苹果顶着月亮