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学习记忆——数学篇——案例——代数——方程——一元二次方程

重点记忆法

a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0
整体可以由: (多少,正负,区间) ⟹ \Longrightarrow △ △ ⟹ \Longrightarrow 求根公式 x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2ab± ⟹ \Longrightarrow 韦达定理 ⟹ \Longrightarrow 判断两根符号情况,即根多少 △ △ 判断,需要求根公式求根公式可推导韦达定理韦达定理可判断两根符号情况

1.
⟹ \Longrightarrow 根的多少 △ △ >0,方程有两根, x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2ab± ,抛物线与x轴有两个交点 ; △ △ =0,方程有一根, x x x − b 2 a -\frac{b}{2a} 2ab,抛物线与x轴有一个交点; △ △ <0,方程无根,抛物线与x轴没有交点;
⟹ \Longrightarrow 根的正负:两正根( △ ≥ 0 , x 1 + x 2 > 0 , x 1 x 2 > 0 △≥0,x_1+x_2>0,x_1x_2>0 0,x1+x20,x1x20);两负根( △ ≥ 0 , x 1 + x 2 < 0 , x 1 x 2 > 0 △≥0,x_1+x_2<0,x_1x_2>0 0,x1+x20,x1x20);异号根( x 1 x 2 < 0 x_1x_2<0 x1x20
⟹ \Longrightarrow 根的区间:看顶点(横坐标相当于看对称轴,纵坐标相当于看 △ △ )、看端点(根所分布区问的端点)。or画图+三要素, △ △ 、对称轴和端点代入。
⟹ \Longrightarrow 根与系数关系 x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1+x2=ab x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1x2=ac

2. △ △ 判别式
⟹ \Longrightarrow b 2 − 4 a c b^2-4ac b24ac
⟹ \Longrightarrow △ △ >0,方程有两根, x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2ab± ,抛物线与x轴有两个交点
⟹ \Longrightarrow △ △ =0,方程有一根, x x x − b 2 a -\frac{b}{2a} 2ab,抛物线与x轴有一个交点
⟹ \Longrightarrow △ △ <0,方程无根,抛物线与x轴没有交点
⟹ \Longrightarrow y y y的最值为 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4acb2 -△ 4 a \frac{-△}{4a} 4a
⟹ \Longrightarrow 弦长公式为 △ ∣ a ∣ \frac{\sqrt{△}}{|a|} a
⟹ \Longrightarrow 顶点△面积为 ( △ ) 3 8 a 2 \frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 8a2( )3

3.求根公式
x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2ab±
⟹ \Longrightarrow 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b + △ 2 a + − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1+x2=2ab 2ab =ab
⟹ \Longrightarrow 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b + b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1x2=2abb24ac 2abb24ac =ac
⟹ \Longrightarrow 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b + △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} x1x2=2ab 2ab =a
⟹ \Longrightarrow 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ -△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{-△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21yx1x2=4aa =8a2( )3

4.韦达定理 x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1+x2=ab x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1x2=ac ∣ x 1 − x 2 ∣ = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} x1x2=ab24ac
⟹ \Longrightarrow 求出关于两个根的对称轮换式的数值
⟹ \Longrightarrow 判断两根符号情况
⟹ \Longrightarrow 一元三次方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0的韦达定理: x 1 + x 2 + x 3 = − b a x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} x1+x2+x3=ab x 1 x 2 x 3 = − d a x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} x1x2x3=ad x 1 x 3 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = c a x_1x_3+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a} x1x3+x2x3+x1x3=ac
⟹ \Longrightarrow

理解记忆法

求根公式推导

https://www.bilibili.com/read/cv4538376/

韦达定理、弦长公式、顶点△面积推导

韦达定理、弦长公式、顶点△面积由求根公式推导而来
x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2ab±
⟹ \Longrightarrow 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b + △ 2 a + − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1+x2=2ab 2ab =ab
⟹ \Longrightarrow 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b + b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1x2=2abb24ac 2abb24ac =ac
⟹ \Longrightarrow 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b + △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} x1x2=2ab 2ab =a
⟹ \Longrightarrow 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ -△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{-△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21yx1x2=4aa =8a2( )3

or

由韦达定理的结论和完全平方公式可推出:
∣ x 1 − x 2 ∣ = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} x1x2=(x1+x2)24x1x2 =ab24ac = △ ∣ a ∣ =\frac{\sqrt{△}}{|a|} =a

根的区间之理解

结合图像,就很容易理解了,所以“根的区间判定”,结合图像,是最快的。
在这里插入图片描述
以下是其他角度总结,但是缺少图像,不怎么好快速理解:
区问根问题,常使用 “ 两点式 ” 解题法,即看顶点(横坐标相当于看对称轴,纵坐标相当于看 △ △ )、看端点(根所分布区问的端点)。
为了讨论方便,只讨论 a > 0 a>0 a0的情况,考试时,若a的符号不定,则需要讨论开口方向。
在这里插入图片描述
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归类记忆法

根的分布问题:正负根问题和区间根问题
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记忆宫殿法

谐音记忆法

求根公式 x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2ab± 很重要

快速秒杀法

图形结合法

结合图像,就很容易理解了,所以“根的区间判定”,结合图像,是最快的。
那怎么记忆住这种方式呢
“根的区间”判定:画图+三要素, △ △ 、对称轴和端点代入。
or
根的区间:看顶点(横坐标相当于看对称轴,纵坐标相当于看 △ △ )、看端点(根所分布区问的端点)。即:遇到根的区间,就联想到横纵坐标,即需要确定横坐标的位置,纵坐标是否存在,但是有这两个还不够,需要第三者加入,即端点代入后的正负,可以决定整个图像的位置。
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转图像记忆法

结合字母编码

学习记忆——英语——字母编码

  1. 求根公式
    x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2ab± ,很重要,可以推导出韦达定理等,故事如下:两个苹果(a)上面有个士兵(±),左手拿着香蕉(b)挡住箭(-),右边是一座桥,桥底有一个三角形。
    在这里插入图片描述

  2. 一元二次方程的根: x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=2ab:2座桥,桥上有一个香蕉,桥底有两个苹果。
    或者:两颗苹果上面有根香蕉,要想托稳香蕉,得有两个横版(一个负号,一个除号)。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    或者两个苹果上面有一座桥和一根香蕉
    在这里插入图片描述

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3. y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c的最值: 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4acb2 =— △ 4 a \frac{△}{4a} 4a
4颗苹果上面有两座桥,桥上有一个三角形。
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  1. 韦达定理

x为剪刀,a苹果,b香蕉,c月亮

剪头➕剪刀可以换,苹果顶着负香蕉
剪刀,剪刀,剪刀,可以换,苹果顶着月亮

在这里插入图片描述

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