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《3D 数学基础》几何检测-相交性检测

目录

1. 2D直线相交

2. 3D射线相交点

3. 射线和平面的交点

4. 3个平面的交点

5. 射线和圆或者球交点

6. 两个圆或者球是否相交

7. 球和平面的相交性检测

8. 射线和AABB的相交性(13.17)

9. 射线和三角形的相交性(13.16)

10. 两个AABB的相交性(也叫碰撞检测)


1. 2D直线相交

直线方程,求交点(x,y)。

(1)分母不为0,则有唯一一个解;

(2)分母为0,则平行。

2. 3D射线相交点

其实是求t,知道相交点的t值,利用射线公式就知道相交点坐标。

3. 射线和平面的交点

把射线方程代入平面方程中,求出自变量t即可。

4. 3个平面的交点

 

交点p,以向量表示(x,y,z)。 

5. 射线和圆或者球交点

求射线参数t.

其中a是将e投影到d,这个向量的长度是a, 投影公式是a=e·d;     e=c-p0 

6. 两个圆或者球是否相交

(1)静态相交性

圆心距离d < r1+r2时,不相交;为避免求d是开方,一般使用d^2 < (r1+r2)^2. 

(2)动态相交性

两个球在分别移动d1和d2的过程中是否会相交的,如下,d1和d2是移动向量

 因为移动是相对的,所以可以将左边的球设置为静止的,右边的移动方向就变成d,如下。

 以c_m为原点,d为移动的方向向量,t为自变量的射线p(t) = c_m + td。变成了求射线自变量t值。

其r=r_s + r_m。

 

7. 球和平面的相交性检测

(1)静态相交性

平面公式: p·n = d,n是单位向量; 球:由半径r和球心初始位置c表示。

计算球心到平面的距离:dis = n·c - d

  • dis >= r,球完全在平面的前面;
  • dis<= -r,在平面的背面;
  • 否则,球横跨平面(即相交)。

 (2)动态相交性

如果两个都在运动,则换成一个静止,一个做相对运动(如上面的两个圆或者球是否相交)

单位向量d指明方向,使用射线方程c+td记录球心运动轨迹。平面公式是p·n=d,n是单位向量。球心运动t时,会与平面相交。

交点c - n

后面几个较为复杂

8. 射线和AABB的相交性(13.17)

附录有实现

9. 射线和三角形的相交性(13.16)

书上有实现。

10. 两个AABB的相交性(也叫碰撞检测)

静止相交性检测是简单的,需要在每个维度上单独检测他们的相交性即可。

动态的很复杂。且实际情况中,很少有轴对齐于同一个坐标系空间中的。

参考:37.几何检测_哔哩哔哩_bilibili 

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