1 随机事件与概率
首先声明【这个括号内的都是批注】
文章目录
- 1 古典概型求概率
- 1.1 随机分配问题【放球】
- 例子
- 1.2 简单随机抽样问题【取球】
- 例子
- 2 几何概型求概率
- 例子
- 3 重要公式求概率
- 3.1 对立
- 3.2 互斥
- 3.3 独立
- 3.4 条件(要做分母的必须大于0)
- 例子
- 3.5 不等式或包含
- 例子
- 3.6 最值【被包含的往往更小,即交集往往被并集包含】
- 例子
- 4 事件独立性的判定
- 4.1 定义
- 4.2 判定【只要独立,咋都独立】
- 例子
1 古典概型求概率
1.1 随机分配问题【放球】
将n个球随机放到N个盒子中
放的方式 | 放的总数 |
---|---|
每个盒子可以放多个球 | N n N^n Nn |
每个盒子只能放一个球 | P N n P_N^n PNn |
例子
1. 将n个球随机放入 N ( n ≤ N ) N(n≤N) N(n≤N)个盒子中,每个盒子可以放任意多个球,球下列事件的概率:
A={某指定n个盒子各有一球},B={恰有n个盒子各有一球},C={指定k(k≤n)个盒子各有一球}
【分析:题给每个盒子可以放任意多个球,所以基本事件总数为 N n N^n Nn,置于分母 。分子上是给定条件下的总数:对于A和C,指定代表仅一种情况;对于B,恰有n个代表 C N n C_N^n CNn】
n个盒子各有1球有 n ! n! n!种放法: p ( A ) = 1 × n ! N n , p ( B ) = [ C N n × n ! ] / N n p(A)=\frac {1×n!} {N^n},p(B)=[C_N^n×n!]/N^n p(A)=Nn1×n!,p(B)=[CNn×n!]/Nn
先从n个球中选k个球有 C N n C^n_N CNn种选法,k个盒子各有1球有 k ! k! k!种放法,还剩下 ( n − k ) (n-k) (n−k)个球要放在 ( N − k ) (N-k) (N−k)个盒子里有 ( N − k ) ( n − k ) (N-k)^{(n-k)} (N−k)(n−k)种放法: p ( C ) = [ C N n × k ! × ( N − k ) ( n − k ) ] / N n p(C)=[C^n_N×k!×(N-k)^{(n-k)}]/N^n p(C)=[CNn×k!×(N−k)(n−k)]/Nn
2. 有12个人回母校参加校庆,每个人在365天哪一天出生等可能,则
A 1 = { 生日分别为每个月的第一天 } A_1=\{生日分别为每个月的第一天\} A1={生日分别为每个月的第一天};
B 1 = { 生日全不相同 } B_1=\{生日全不相同\} B1={生日全不相同}; B 1 ‾ = { 至少有 2 人生日相同 } \overline{B_1}=\{至少有2人生日相同\} B1={至少有2人生日相同};
C 1 = { 有且仅有三个人的生日分别在劳动节、儿童节、中秋节 } C_1=\{有且仅有三个人的生日分别在劳动节、儿童节、中秋节\} C1={有且仅有三个人的生日分别在劳动节、儿童节、中秋节}。
【分析:12个球放入365个盒子中,每个盒子可以放任意多个球。 A 1 A_1 A1与 C 1 C_1 C1对应1.1中的A和C,都是指定; B 1 B_1 B1对应1.1中的B】
p ( A ) = [ 1 × 12 ! ] / 36 5 12 , p ( B 1 ) = [ C 365 12 × 12 ! ] / 36 5 12 , p ( B 1 ‾ ) = 1 − p ( B 1 ) p(A)=[1×12!]/365^{12},p(B_1)=[C_{365}^{12}×12!]/365^{12},p(\overline{B_1})=1-p(B_1) p(A)=[1×12!]/36512,p(B1)=[C36512×12!]/36512,p(B1)=1−p(B1)
p ( C 1 ) = [ C 12 3 × 3 ! × ( 365 − 3 ) ( 12 − 3 ) ] / 36 5 12 p(C_1)=[C_{12}^{3}×3!×(365-3)^{(12-3)}]/365^{12} p(C1)=[C123×3!×(365−3)(12−3)]/36512
1.2 简单随机抽样问题【取球】
在含 N N N个球的盒子中进行n次简单随机抽样
取的方式 | 取的总数 |
---|---|
【拿了还在】先后有放回取 n n n次 | N n N^n Nn |
【拿了就没了】先后无放回取 n n n次 | P N n P_N^n PNn |
【拿了就没了】任取 n n n个 | C N n C_N^n CNn |
可以发现,无放回和任取,其实是一个意思的不同表达,只不过任取是没按照顺序随便取的,而无放回是按顺序一个一个取的。但是,无放回取n个和任取n个,都是从总数中拿走了n个,因此在计算的时候可以将无放回按照任取来算,因为在计算过程中,无放回的顺序是会被抵消的。
即:“先后无放回取n个球”与“任取n个球”的概率相同
例子
抓阄模型即盲盒抽签。(3)(4)就是:不管你是否有放回,我闭着眼睛取,就是不看取到的是什么球,但从100个球里面取到白球的概率都是等可能的2/5,所以不管取几次,取到白球的概率都是不变的。
比如有100个人买彩票,其中有一张彩票是有奖的,那么获奖的总概率是1/100,我是第51个买到彩票的,但我获奖的概率依然是1/100,因为我不知道前面买了彩票的人是否中奖了。
但如果是100张刮刮奖,由一张刮刮奖是有奖的,还没刮之前,每张获奖概率是1/100。前面50个人买了,且现场刮开了,发现都没有奖,那么有奖的在还剩下的5张刮刮奖里面,此时我再去买,获奖概率就变成了50/100=1/2。这就不是抓阄模型了,抓阄模型是事先都不知道对方有没有中奖,而这是已知有多少人没中奖的情况下,我能中奖的概率,为条件概率模型。
2 几何概型求概率
若全集是一个几何区域,样本点落入某一子区域的概率是:子区域的面积与总区域面积之比。
例子
3 重要公式求概率
3.1 对立
①德·摩根定律【长杠变短杠,开口换方向】:
A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ , A B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B},\overline{AB}=\overline{A}∪\overline{B} A∪B=A∩B,AB=A∪B
② P ( A ) = 1 − P ( A ‾ ) P(A)=1-P(\overline{A}) P(A)=1−P(A)
3.2 互斥
① A ∪ B = A ∪ A ‾ B = B ∪ A B ‾ = A B ‾ ∪ A B ∪ A ‾ B A∪B=A∪\overline{A}B=B∪A\overline{B}=A\overline{B}∪AB∪\overline{A}B A∪B=A∪AB=B∪AB=AB∪AB∪AB.
②若 B 1 , B 2 , B 3 B_1,B_2,B_3 B1,B2,B3为完备事件组,即 Ω = B 1 ∪ B 2 ∪ B 3 Ω=B_1∪B_2∪B_3 Ω=B1∪B2∪B3,
则 A = A Ω = A ( B 1 ∪ B 2 ∪ B 3 ) = A B 1 ∪ A B 2 ∪ A B 3 A=AΩ=A(B_1∪B_2∪B_3)=AB_1∪AB_2∪AB_3 A=AΩ=A(B1∪B2∪B3)=AB1∪AB2∪AB3
③ P ( A − B ) = P ( A B ‾ ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(AB)=P(A)−P(AB)
容易得到:若 P ( A B ‾ ) = P ( A ‾ B ) P(A\overline{B})=P(\overline{A}B) P(AB)=P(AB),则 P ( A ) = P ( B ) P(A)=P(B) P(A)=P(B)
④
a. P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)
b. P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C ) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)
c.若 A , B , C A,B,C A,B,C两两互斥,则 P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
3.3 独立
①若 A , B , C A,B,C A,B,C相互独立,则 P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
①若 A , B , C A,B,C A,B,C相互独立,则
P ( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P ( A ∪ B ∪ C ‾ ) = 1 − P ( A ‾ B ‾ C ‾ ) = 1 − P ( A ‾ ) P ( B ‾ ) P ( C ‾ ) P(A∪B∪C)=1-P(\overline{A∪B∪C})=1-P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=1-P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C}) P(A∪B∪C)=1−P(A∪B∪C)=1−P(ABC)=1−P(A)P(B)P(C)
3.4 条件(要做分母的必须大于0)
① P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) ( P ( B ) > 0 ) P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}(P(B)>0) P(A∣B)=P(B)P(AB)(P(B)>0)
② P ( A B ) = P ( B ) P ( A ∣ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A + B ) = P ( A ) − P ( A B ‾ ) P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(A)+P(B)-P(A+B)=P(A)-P(A\overline{B}) P(AB)=P(B)P(A∣B)=P(A)P(B∣A)=P(A)+P(B)−P(A+B)=P(A)−P(AB)
③【全概率公式(知因求果):已知在各个因素下B会发生的概率,去求B发生的概率】
若 A 1 , A 2 , A 3 A_1,A_2,A_3 A1,A2,A3为完备事件组, P ( A i ) > 0 ( i = 1 , 2 , 3 ) P(A_i)>0(i=1,2,3) P(Ai)>0(i=1,2,3),则
P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B ∣ A 3 ) P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3) P(B)=P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)+P(A3)P(B∣A3)
④【贝叶斯公式(执果索因):已知B已经发生了,那么是哪个因素导致的?】
若 A 1 , A 2 , A 3 A_1,A_2,A_3 A1,A2,A3为完备事件组, P ( A i ) > 0 ( i = 1 , 2 , 3 ) P(A_i)>0(i=1,2,3) P(Ai)>0(i=1,2,3),则
例子
- 设有甲、乙两名射击运动员,甲命中目标的概率是0.6,乙命中目标的概率是0.5,求下列事件的概率。
(1)从甲、乙中任选一人去射击,若命中,则是甲命中的概率;【事件来自不同阶段→贝叶斯公式】
(2)甲、乙两人各自独立射击,若目标命中,则是甲命中的概率.【事件来自相同阶段→条件概率】
3.5 不等式或包含
① 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0≤P(A)≤1 0≤P(A)≤1.
② 若 A ⊆ B ,则 P ( A ) ≤ P ( B ) 若A⊆B,则P(A)≤P(B) 若A⊆B,则P(A)≤P(B).
③ 由于 A B ⊆ A ⊆ A + B ,故 P ( A B ) ≤ P ( A ) ≤ P ( A + B ) 由于AB⊆A⊆A+B,故P(AB)≤P(A)≤P(A+B) 由于AB⊆A⊆A+B,故P(AB)≤P(A)≤P(A+B).
若当事件 A , B 同时发生时,事件 C 必然发生,则 A B ⊆ C 若当事件A,B同时发生时,事件C必然发生,则AB⊆C 若当事件A,B同时发生时,事件C必然发生,则AB⊆C
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − 1 ≤ P ( C ) P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=P(A)+P(B)-1≤P(C) P(AB)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=P(A)+P(B)−1≤P(C)
例子
1. 事件 A 与 B 相互独立, 1.事件A与B相互独立, 1.事件A与B相互独立, P ( A ) = a P(A)= a P(A)=a , P ( B ) = b ,P(B)=b ,P(B)=b, 若事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生 , 那么 A , B , C 都不发生的概率为? 若事件C发生必然导致A与B同时发生,那么A,B,C都不发生的概率为? 若事件C发生必然导致A与B同时发生,那么A,B,C都不发生的概率为?
【分析:C发生会导致A,B同时发生,说明C在AB内,只有A和B同时发生C才会发生,单独发生的话C是不一定会发生的。而C若是不发生,那么可以推出要么是A不发生,要么是B不发生。题目所求的是A,B,C都不发生的概率,既然C不发生的话要么就是A不发生要么就是B不发生,那么A,B,C都不发生的概率不就是A,B都不发生的概率了。】
3.6 最值【被包含的往往更小,即交集往往被并集包含】
① { m a x { X , Y } ≤ a } = { X ≤ a } ∩ { Y ≤ a } \{max\{X,Y\}≤a\}=\{X≤a\}∩\{Y≤a\} {max{X,Y}≤a}={X≤a}∩{Y≤a}【最大的都比a小,那都比a小】【且】
② { m a x { X , Y } > a } = { X > a } ∪ { Y > a } \{max\{X,Y\}>a\}=\{X>a\}∪\{Y>a\} {max{X,Y}>a}={X>a}∪{Y>a}【求最大要的比a大,那要么X大于a,要么Y大于a】【或】
③ { m i n { X , Y } ≤ a } = { X ≤ a } ∪ { Y ≤ a } \{min\{X,Y\}≤a\}=\{X≤a\}∪\{Y≤a\} {min{X,Y}≤a}={X≤a}∪{Y≤a}【求最小的要比a小,那要么X小于等于a,要么Y小于等于a】【或】
④ { m i n { X , Y } > a } = { X > a } ∩ { Y > a } \{min\{X,Y\}>a\}=\{X>a\}∩\{Y>a\} {min{X,Y}>a}={X>a}∩{Y>a}【最小的都比a大,那都比a大】【且】
⑤ { m a x { X , Y } ≤ a } ⊆ { m i n { X , Y } ≤ a } \{max\{X,Y\}≤a\}⊆\{min\{X,Y\}≤a\} {max{X,Y}≤a}⊆{min{X,Y}≤a}【且⊆或】
⑥ { m i n { X , Y } > a } ⊆ { m a x { X , Y } > a } \{min\{X,Y\}>a\}⊆\{max\{X,Y\}>a\} {min{X,Y}>a}⊆{max{X,Y}>a}【且⊆或】
【补充:同号考交集,不同号考全概率公式】
例子
4 事件独立性的判定
4.1 定义
设 A , B 为两个事件,若 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) ,则称事件 A 与 B 相互独立 . 设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立. 设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立.
若对于 A , B , C 三个事件: 若对于A,B,C三个事件: 若对于A,B,C三个事件:
① P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) ①P(AB)=P(A)P(B) ①P(AB)=P(A)P(B)
② P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) ②P(AC)=P(A)P(C) ②P(AC)=P(A)P(C)
③ P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) ③P(BC)=P(B)P(C) ③P(BC)=P(B)P(C)
④ P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) ④P(ABC)=P(A)P(B)P(C) ④P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
若①②③④同时满足,则称事件 A , B , C 相互独立 若①②③④同时满足,则称事件A,B,C相互独立 若①②③④同时满足,则称事件A,B,C相互独立
若仅④不满足,则称事件 A , B , C 两两独立 若仅④不满足,则称事件A,B,C两两独立 若仅④不满足,则称事件A,B,C两两独立
4.2 判定【只要独立,咋都独立】
例子
设随机事件A与B相互独立, 0 < P ( A ) < 1 , P ( C ) = 1 0<P(A)<1,P(C)=1 0<P(A)<1,P(C)=1,则下列事件中不相互独立的是(C)
( A ) A , B , A ∪ C (A)A,B,A∪C (A)A,B,A∪C
( B ) A , B , A − C (B)A,B,A-C (B)A,B,A−C
( C ) A , B , A C (C)A,B,AC (C)A,B,AC
( D ) A , B , A ‾ ∩ C ‾ (D)A,B,\overline{A}∩\overline{C} (D)A,B,A∩C
【分析】 A ‾ ∩ C ‾ = A ∪ C ‾ = 1 − A ∪ C \overline{A}∩\overline{C}=\overline{A∪C}=1-A∪C A∩C=A∪C=1−A∪C,若选A则D也必须选,所以同时排除A和D
由 P ( C ) = 1 得 P ( C ‾ ) = 0 , 所以 P ( A − C ) = P ( A C ‾ ) = P ( A ) P ( C ‾ ) = 0 ,排除 B 由P(C)=1得P(\overline{C})=0,所以P(A-C)=P(A\overline{C})=P(A)P(\overline{C})=0,排除B 由P(C)=1得P(C)=0,所以P(A−C)=P(AC)=P(A)P(C)=0,排除B
对于选项C, P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) = P ( A ) ≠ 0 P(AC)=P(A)P(C)=P(A)≠0 P(AC)=P(A)P(C)=P(A)=0,所以选C
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