1 随机事件与概率

首先声明【这个括号内的都是批注】

1 古典概型求概率

1.1 随机分配问题【放球】

将n个球随机放到N个盒子中

放的方式	放的总数
每个盒子可以放多个球	$N^n$
每个盒子只能放一个球	$P_N^n$

例子

1. 将n个球随机放入$N(n\le N)$个盒子中，每个盒子可以放任意多个球，球下列事件的概率：
A={某指定n个盒子各有一球}，B={恰有n个盒子各有一球}，C={指定k(k≤n)个盒子各有一球}

【分析：题给每个盒子可以放任意多个球，所以基本事件总数为$N^n$，置于分母 。分子上是给定条件下的总数：对于A和C，指定代表仅一种情况；对于B，恰有n个代表$C_N^n$】

n个盒子各有1球有$n!$种放法：$p(A)=\frac{1\times n!}{N^n}，p(B)=[C_N^n\times n!]/N^n$

先从n个球中选k个球有$C_N^n$种选法，k个盒子各有1球有$k!$种放法，还剩下$(n-k)$个球要放在$(N-k)$个盒子里有$(N-k{)}^{(n-k)}$种放法：$p(C)=[C_N^n\times k!\times (N-k{)}^{(n-k)}]/N^n$

2. 有12个人回母校参加校庆，每个人在365天哪一天出生等可能，则
A 1 = { 生日分别为每个月的第一天 } A_1=\{生日分别为每个月的第一天\} A1​={生日分别为每个月的第一天}；
B 1 = { 生日全不相同 } B_1=\{生日全不相同\} B1​={生日全不相同}； B 1 ‾ = { 至少有 2 人生日相同 } \overline{B_1}=\{至少有2人生日相同\} B1​​={至少有2人生日相同}；
C 1 = { 有且仅有三个人的生日分别在劳动节、儿童节、中秋节 } C_1=\{有且仅有三个人的生日分别在劳动节、儿童节、中秋节\} C1​={有且仅有三个人的生日分别在劳动节、儿童节、中秋节}。
【分析：12个球放入365个盒子中，每个盒子可以放任意多个球。$A_1$与$C_1$对应1.1中的A和C，都是指定；$B_1$对应1.1中的B】
$p(A)=[1\times 12!]/365^{12}，p(B_1)=[C_{365}^{12}\times 12!]/365^{12}，p(\overline{B_1})=1-p(B_1)$

$p(C_1)=[C_{12}^3\times 3!\times (365-3{)}^{(12-3)}]/365^{12}$

1.2 简单随机抽样问题【取球】

在含$N$个球的盒子中进行n次简单随机抽样

取的方式	取的总数
【拿了还在】先后有放回取$n$次	$N^n$
【拿了就没了】先后无放回取$n$次	$P_N^n$
【拿了就没了】任取$n$个	$C_N^n$

可以发现，无放回和任取，其实是一个意思的不同表达，只不过任取是没按照顺序随便取的，而无放回是按顺序一个一个取的。但是，无放回取n个和任取n个，都是从总数中拿走了n个，因此在计算的时候可以将无放回按照任取来算，因为在计算过程中，无放回的顺序是会被抵消的。

即：“先后无放回取n个球”与“任取n个球”的概率相同

例子

抓阄模型即盲盒抽签。（3）（4）就是：不管你是否有放回，我闭着眼睛取，就是不看取到的是什么球，但从100个球里面取到白球的概率都是等可能的2/5，所以不管取几次，取到白球的概率都是不变的。

比如有100个人买彩票，其中有一张彩票是有奖的，那么获奖的总概率是1/100，我是第51个买到彩票的，但我获奖的概率依然是1/100，因为我不知道前面买了彩票的人是否中奖了。

但如果是100张刮刮奖，由一张刮刮奖是有奖的，还没刮之前，每张获奖概率是1/100。前面50个人买了，且现场刮开了，发现都没有奖，那么有奖的在还剩下的5张刮刮奖里面，此时我再去买，获奖概率就变成了50/100=1/2。这就不是抓阄模型了，抓阄模型是事先都不知道对方有没有中奖，而这是已知有多少人没中奖的情况下，我能中奖的概率，为条件概率模型。

2 几何概型求概率

若全集是一个几何区域，样本点落入某一子区域的概率是：子区域的面积与总区域面积之比。

例子

3 重要公式求概率

3.1 对立

①德·摩根定律【长杠变短杠，开口换方向】：
$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}，\overline{AB}=\overline{A}\cup \overline{B}$

②$P(A)=1-P(\overline{A})$

3.2 互斥

①$A\cup B=A\cup \overline{A}B=B\cup A\overline{B}=A\overline{B}\cup AB\cup \overline{A}B$.

②若$B_1,B_2,B_3$为完备事件组，即$\Omega =B_1\cup B_2\cup B_3$，
则$A=A\Omega =A(B_1\cup B_2\cup B_3)=A{B}_1\cup A{B}_2\cup A{B}_3$

③$P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$
容易得到：若$P(A\overline{B})=P(\overline{A}B)$，则$P(A)=P(B)$

④
a. $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

b. $P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

c.若$A，B，C$两两互斥，则$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)$

3.3 独立

①若$A，B，C$相互独立，则$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

①若$A，B，C$相互独立，则
$P(A\cup B\cup C)=1-P(\overline{A\cup B\cup C})=1-P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=1-P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})$

3.4 条件（要做分母的必须大于0）

①$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}（P(B)>0）$

②$P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(A)+P(B)-P(A+B)=P(A)-P(A\overline{B})$

③【全概率公式(知因求果)：已知在各个因素下B会发生的概率，去求B发生的概率】
若$A_1,A_2,A_3$为完备事件组，$P(A_i)>0(i=1,2,3)$，则
$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)$

④【贝叶斯公式(执果索因)：已知B已经发生了，那么是哪个因素导致的？】
若$A_1,A_2,A_3$为完备事件组，$P(A_i)>0(i=1,2,3)$，则

例子

1. 设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是0.6，乙命中目标的概率是0.5，求下列事件的概率。
   （1）从甲、乙中任选一人去射击，若命中，则是甲命中的概率；【事件来自不同阶段→贝叶斯公式】
   （2）甲、乙两人各自独立射击，若目标命中，则是甲命中的概率.【事件来自相同阶段→条件概率】
   

3.5 不等式或包含

① $0\le P(A)\le 1$.

② $若A\subseteq B，则P(A)\le P(B)$.

③ $由于AB\subseteq A\subseteq A+B，故P(AB)\le P(A)\le P(A+B)$.

$若当事件A,B同时发生时，事件C必然发生，则AB\subseteq C$
$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=P(A)+P(B)-1\le P(C)$

例子

$1.事件A与B相互独立，$$P(A)=a$$,P(B)=b$，$若事件C发生必然导致A与B同时发生,那么A,B,C都不发生的概率为？$
【分析：C发生会导致A，B同时发生，说明C在AB内，只有A和B同时发生C才会发生，单独发生的话C是不一定会发生的。而C若是不发生，那么可以推出要么是A不发生，要么是B不发生。题目所求的是A，B，C都不发生的概率，既然C不发生的话要么就是A不发生要么就是B不发生，那么A,B,C都不发生的概率不就是A,B都不发生的概率了。】

3.6 最值【被包含的往往更小，即交集往往被并集包含】

① { m a x { X , Y } ≤ a } = { X ≤ a } ∩ { Y ≤ a } \{max\{X,Y\}≤a\}=\{X≤a\}∩\{Y≤a\} {max{X,Y}≤a}={X≤a}∩{Y≤a}【最大的都比a小，那都比a小】【且】

② { m a x { X , Y } > a } = { X > a } ∪ { Y > a } \{max\{X,Y\}>a\}=\{X>a\}∪\{Y>a\} {max{X,Y}>a}={X>a}∪{Y>a}【求最大要的比a大，那要么X大于a，要么Y大于a】【或】

③ { m i n { X , Y } ≤ a } = { X ≤ a } ∪ { Y ≤ a } \{min\{X,Y\}≤a\}=\{X≤a\}∪\{Y≤a\} {min{X,Y}≤a}={X≤a}∪{Y≤a}【求最小的要比a小，那要么X小于等于a，要么Y小于等于a】【或】

④ { m i n { X , Y } > a } = { X > a } ∩ { Y > a } \{min\{X,Y\}>a\}=\{X>a\}∩\{Y>a\} {min{X,Y}>a}={X>a}∩{Y>a}【最小的都比a大，那都比a大】【且】

⑤ { m a x { X , Y } ≤ a } ⊆ { m i n { X , Y } ≤ a } \{max\{X,Y\}≤a\}⊆\{min\{X,Y\}≤a\} {max{X,Y}≤a}⊆{min{X,Y}≤a}【且⊆或】

⑥ { m i n { X , Y } > a } ⊆ { m a x { X , Y } > a } \{min\{X,Y\}>a\}⊆\{max\{X,Y\}>a\} {min{X,Y}>a}⊆{max{X,Y}>a}【且⊆或】

【补充：同号考交集，不同号考全概率公式】

例子

4 事件独立性的判定

4.1 定义

$设A，B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立.$

$若对于A，B，C三个事件：$
$①P(AB)=P(A)P(B)$
$②P(AC)=P(A)P(C)$
$③P(BC)=P(B)P(C)$
$④P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

$若①②③④同时满足，则称事件A,B,C相互独立$
$若仅④不满足，则称事件A,B,C两两独立$

4.2 判定【只要独立，咋都独立】

例子

设随机事件A与B相互独立，$0<P(A)<1，P(C)=1$，则下列事件中不相互独立的是（C）
$（A）A,B,A\cup C$
$（B）A,B,A-C$
$（C）A,B,AC$
$（D）A,B,\overline{A}\cap \overline{C}$

【分析】$\overline{A}\cap \overline{C}=\overline{A\cup C}=1-A\cup C$，若选A则D也必须选，所以同时排除A和D

$由P(C)=1得P(\overline{C})=0,所以P(A-C)=P(A\overline{C})=P(A)P(\overline{C})=0，排除B$

对于选项C，$P(AC)=P(A)P(C)=P(A)\ne 0$，所以选C