【考研数学】线性代数第六章 —— 二次型（3，正定矩阵与正定二次型）

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一、基本概念

1.1 引例

（1）二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+2x_3^2=X^{T}AX$ 有如下特点：

1. 对任意的 $x_1,x_2,x_3$ ，有 $f(x_1,x_2,x_3)\ge 0$ ；
2. $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 当且仅当 $x_1=x_2=x_3=0$ ，或对任意 $X\ne 0$ ，有 $X^{T}AX>0$ 。

（2）二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_1{x}_2+4x_2^2+6x_3^2=(x_1-x_2{)}^2+3x_2^2+6x_3^2=X^{T}AX$ 有如下特点：

1. 对任意的 $x_1,x_2,x_3$ ，有 $f(x_1,x_2,x_3)\ge 0$ ；
2. $f(x_1,x_2,x_3)=0$ 当且仅当 $x_1=x_2=x_3=0$ ，或对任意 $X\ne 0$ ，有 $X^{T}AX>0$ 。

1.2 正定二次型概念

对二次型 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=X^{T}AX$ ，若对任意 $X\ne 0$ ，总有 $X^{T}AX>0$ ，称 $X^{T}AX$ 为正定二次型，$A$ 为正定矩阵。

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二、正定二次型的判别

定理 1 —— 二次型 $X^{T}AX$ 为正定二次型的充分必要条件是 $A$ 的特征值均为正数。

定理 2 —— 二次型 $X^{T}AX$ 为正定二次型的充分必要条件是 $A$ 的顺序主子式都大于 0 ，即 $$a_{11}>0,\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|>0,\cdots ,|A|>0.$$ 定理 3 —— 设 $A^T=A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 $B$ 使得 $A=B^{T}B$ 。

定理 4 —— 设 $A^T=A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $A$ 与 $E$ 合同。

定理 5 —— 设 $A^T=A$ ，则 $A$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $A$ 的正惯性指数为 $n$ 。

定理 6 —— 设 $A,B$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶实对称矩阵，则 $\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]$ 为正定矩阵的充分必要条件为 $A,B$ 均为正定矩阵。

二次型 $f(X)=X^{T}AX$ 正定的必要条件是 $a_{ii}>0(i=1,2,\cdots ,n);|A|>0$ 。

即可以先看看对角线元素和行列式是否大于 0 ，作初步判别。

若 $A$ 为正定矩阵，则其一定可逆；且 $A^{-1},A^{\ast }$ 均正定。

若 $A,B$ 都是正定矩阵，则 $A+B$ 也是正定矩阵。

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写在最后

那线性代数到这，理论也就基本结束了。