数据结构与算法之[把数字翻译成字符串]动态规划

前言：最近在刷动态规划的算法题目，感觉这一类题目还是有一点难度的，但是不放弃也还是能学好的，今天给大家分享的是牛客网中的编程题目[把数字翻译成字符串]，这是一道经典的面试题目，快手，字节跳动等大厂出国这道题目。题目有点绕，需要进行分类讨论最好配合画图工具进行理解，这样能更好理解这道题目。

一.题目

二.进一步剖析题目

1.关于动态规划思想

动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。

2.分析题目

①分析题目：能够译码的数字不会大于26，即有效的译码范围为 [1,26]。

②确定状态：以数组 "12345" 为例，首先要明确两点：

• 依题意可知，数组中所有的数字都必须参与译码，比如数组 "1234" 的某一种译码方式为 “1,2,3,4"，那么当数组尾再添加一个元素 "5" 时，刚才的译码方式就会变为 "1,2,3,4,5"，即 "1,2,3,4" 和 "1,2,3,4,5" 是同一种译码方式。

由于所有数字都要参与译码，所以只要译码方式中存在个位数 "0"，那么就都是无效的。

• 当新加入一个数字"5" 时，其除了可以单独作为一个数字参与译码外，也可以与其左边的数字组成数字组合后再参与译码，即 "45" ，然后此时有多少种译码方式就取决于剩余的数字 即 "123" 了，这和前面所说的是同一个道理，只是此时把 "4"和"5" 看作是一个整体，可以理解为：原本数组 "123" 存在某种译码方式为 "1,2,3"，现在加入 "45"，译码方式就变成了 "1,2,3,45"。

由于有效的译码范围为 [1,26]，所以新加入的数字 "5" 只需要考虑与其左边的数字组成两位数组合，无需再考虑组成更大的组合了，比如三位数 "345" 等等。

数字组合必须是十位数，比如 "0"和"2" 组成的 "02" 也是不符合译码要求的。

理解了上面两点后，现在我们从数组 "12345" 的子串"1"开始分析，然后逐步往后添加元素，设数组 x 有 f(x) 种有效的译码方式：

• 当数组为 "1" 时，有以下译码方式：

①1

f("1")=1

• 接着加入数字"2"，数组为 "12" 时，有以下译码方式：

①1，2

②12

f("12")=2

其中第①种是从 数组 "1" 的译码方式 演变过来的，就是在其基础上再加上单个数字 "2"。

• 接着加入数字"3"，数组为 "123" 时，有以下译码方式：

①1，2，3

②12，3

③1，23

f("123")=3

其中第①、②种是从 数组 "12" 的译码方式 演变过来的，就是在其基础上再加上单个数字 "3"；

而第③种是从 数组 "1" 的译码方式 演变过来的，就是在其基础上再加上数字组合 "23"。

• 接着加入数字"4"，数组为 "1234" 时，有以下译码方式：

①1，2，3，4
②12，3，4
③1，23，4
④1，2，34
⑤12，34

其中第①、②、③种是从 数组 "123" 的译码方式 演变过来的，就是在其基础上再加上单个数字 "4"；

而第④、⑤种是从 数组 "12" 的译码方式 演变过来的，就是在其基础上再加上数字组合 "34"；

由于 "45" 不在有效译码的范围内，所以这两种译码方式会被抛弃掉。

f("1234")=3

可见，数组 "1234" 的译码方式 是由 数组 "123"的译码方式 和 数组 "12"的译码方式 组成的。

• 根据上面的分析，当数组继续扩张到 "12345" 时，那么其译码方式就为：

当新加入的数字 "5" 单独作为个位数参与译码时，此时的译码方式 就等同于 数组 "1234" 的译码方式，这组译码方式是有效的，因为个位数 "5" 在有效的译码范围内；

而 "5" 与其前一位数字组成十位数 "45" 时，此时的译码方式 就等同于 数组 "123" 的译码方式，而这组译码是否有效则取决于 "45" 是否在有效的译码范围内。

即 f("12345") = f("12345" - "5") + f("12345" - "45") = f("1234") + f("123") = 3+3 = 6，但是由于 "45" 不在有效的译码范围内，所以 f("123") 的结果不能算在内，所以最终结果应该为3。

• 可见，枚举到某位数字时，此时有多少种译码方式，可以由之前的译码方式相加得出，即当前的状态可以利用之前的状态，这是典型的动态规划。

③状态转移方程：f(x)=f(x-1)+f(x-2)（其中 x 表示数组长度，f(x) 表示有多少种有效的译码方式；是否加上 f(x-1) 取决于 nums[x] 是否在 [1,9] 内，即 nums[x] 需要满足不为0；是否加上 f(x-2) 则取决于 nums[i-1] 与 nums[i] 的数字组合是否在 [10,26] 内）

时间复杂度：O(N) ，需要遍历一次数组

空间复杂度：O(N) ，需要声明一个状态数组记录f(x)

3.C++代码

class Solution {public:int solve(string nums) {// write code hereif(nums[0]=='0')return 0;vector<int>dp(nums.size(),0);dp[0]=1;for(int i=1;i<dp.size();i++){if(nums[i]!='0'){if(nums[i-1]=='1'){dp[i]=dp[i-1]+(i-2>=0?dp[i-2]:1);continue;}if(nums[i-1]=='2'&&(nums[i]-'0'>0&&nums[i]-'0'<7)){dp[i]=dp[i-1]+(i-2>=0?dp[i-2]:1);continue;}    dp[i]=dp[i-1];            }else {if(nums[i-1]-'0'==1||nums[i-1]-'0'==2){dp[i]=dp[i-1];continue;}return 0;           }}return dp[nums.size()-1];
}
};