【计算机视觉】相机

我的《计算机视觉》系列参考UC Berkeley的CS180课程，PPT可以在课程主页看到。

成像原理

一、原始的相机：针孔相机（Pinhole Camera）

想要拍一张相片，直接拿胶片对着景物肯定是不行的，因为物体的每一点发出的光线都会到达胶片上的每一点，从而导致胶片上的影像非常模糊，甚至什么都看不出来。因此，我们想建立景物和胶片一一对应的关系，就必须让景物的每一点只有一束光线到达胶片上的一点（其实是很小的区域）。为了达到这个目的，我们就必须用一个隔板把其他多余的光挡住（图中的barrier），只允许其中一束光通过，也就是隔板上的孔（aperture）。这就是针孔相机的原理了。这里的孔在现代的相机上就是光圈，英文名同样是aperture。

针孔相机无处不在，树叶之间的缝隙也可以构成针孔相机，树荫下地面上圆形的亮斑其实就是太阳的像。当发生日食的时候，亮斑的形状就不是圆形的了，而是月牙形（如上图所示）。

有时候，连窗子都可以是照相机。如图所示，酒店的窗户构成针孔相机使得窗外的塔尖倒映在了墙上。

二、针孔相机的数学模型

下面，我们对针孔相机建立数学模型。

针孔相机捕捉的是光束，所有的光束通过一个投影中心（Center of Projection, COP）。像是在像平面上形成的。有效焦距$d$是从投影中心到像平面的距离。

我们把投影中心放在空间直角坐标系的原点。这里与实际不同的是，我们把像平面放在投影中心的前面（介于物和投影中心之间的$z=-d$处，以后处理其他相机也是如此），这样的话就可以避免景物倒过来的问题了。这样做是可行的，因为把像平面放在$z=d$和$z=-d$处的唯一区别就是景物是正着的还是倒着的。然后，用一些相似三角形，就可以知道物点$(x,y,z)$对应的像点是$\left(-d\frac{x}{z},-d\frac{y}{z},-d\right)$。忽略$z$坐标$-d$，我们就知道胶片上的坐标是$\left(-d\frac{x}{z},-d\frac{y}{z}\right)$。

三、真实相机

当然了，针孔相机是旧时代的产物，现在没有人在用针孔相机。现在的相机大都是基于透镜的。接下来我们会建立现代相机的模型。

首先我们讨论一下光圈半径。既然允许通过的光太多会使影像变模糊，为什么不让光圈越小越好呢？答案是：还有光的衍射现象。这里又要涉及一些瑞利判据之类的东西了，啊啊啊啊大物我的噩梦……

所以说光圈半径应该在一个合理的范围内。此外，现代相机使用透镜有很多好处。小孔成像利用的是光的直线传播，景物发出的大部分光被挡在外面了，只有一小部分进入了小孔，这就导致单位时间进入的光强很低，需要很长的曝光时间来弥补。而透镜允许我们不必浪费挡在外面的光，而是把光折进光圈，从而使得更多的光进入光圈，达到缩短曝光时间、降低衍射效应、提升图像品质的目的。透镜可以让光聚焦在一个特定的平面（焦平面）上，我们可以通过调节透镜的形状（曲率半径）、折射率来调节焦距，比针孔相机更方便。

当然，我们知道凸透镜成像满足高斯公式（$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$）死去的几何光学突然开始攻击我，这也就意味着对于不同的物距$u$，相距$v$是不同的，因此只有物距在一个范围内才能映射到给定的像平面上。物距偏离合理范围，聚焦的平面就不在像平面上了，就像近视眼和远视眼一样。

使图像清晰的最远和最近物距之差称为景深（depth of field）：

光圈半径可以控制景深。我们知道，光圈越大，景物的一个点发出的光线映射到像平面上的光斑半径就越大，使得图像不清晰。我们又知道，凸透镜成实像时满足“物近像远像变大，物远像近像变小”，所以景物太远或太近都会导致聚焦不到像平面上，从而使光斑变大。当光圈变小时，可以约数光发散的角度，使像上的光斑变小，从而能允许更远和更近的物距，使得景深变大。焦比（F-number）是焦距与光圈直径之比，焦比越大，意味着光圈半径越小，使得曝光时间增长（因为进入光圈的光变少了，需要更长的曝光时间来弥补），但景深也变大。

焦距可以决定视野（field of view, FOV）。焦距越小，说明透镜遮光能力越强，很边缘的光都可以折进光圈里面，使得视野越大；同时，同一个物体的像也会变小。

焦距太小会导致拍摄变形（比如上图左边的左右脸不一样大）。这是因为小焦距对应大视角，从而使近、远景物占视角的比例之比加大，近景物在图片中的比例被夸张地放大，从而使图像呈现出诡异的形状。

四、透镜的缺陷

1. 色差（chromatic aberration）。透镜对不同波长的光的折射率不同，使得不同颜色的像位置发生偏移。

2. 径向畸变（radial distortion）。这是由不完美的透镜导致的；光线通过透镜边缘时会产生偏移。