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线性代数 第一章 行列式

news 2026/2/11 4:19:31

一、概念

不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项）

二、性质

  1. 经转置行列式的值不变，即\left | A^T \right |=\left | A \right |；

  2. 某行有公因数k，可把k提到行列式外。特别地，某行元素全为0，则行列式的值为0；

  3. 两行互换行列式变号，特别地，两行相等行列式值为0，两行成比例行列式值为0；

  4. 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和；

  5. 某行的k倍加至另一行，行列式的值不变。

三、展开式

|A|=ai1Ai1+ai2Ai2＋…+ainAin（按i行展开）

|A|=a1jA1j+a2A2j+…＋anjAnj（按j列展开）

四、计算

4.1 数字型

三角化法、公式法、归纳法

常用技巧

  1. 直接按行（列）展开
  2. 把第1行（列）的k倍加到第i行（列）
  3. 把每行（列）都加到第1行（列）
  4. 逐行（列）相加

4.2 抽象型

  • 用行列式性质
  • 用矩阵性质
  • 用特征值 \left | A \right |=\prod \lambda _i 相似

五、证 \left | A \right |=0

  • Ax=0有非零解

  • 反证法
  • r(A)<n
  • 0是A的特征值
  • \left | A \right |=-\left | A \right |

设某系数行列式为D

D≠0，非齐次线性方程组有唯一解；D=0，可能无穷多解，也可能无解。

D≠0，齐次线性方程组只有零解；D=0，有非零解（即无穷多解）。

六、应用

  • Ax=0有非零解
  • 伴随矩阵求逆法
  • 线性相关（无关）判定
  • 可逆的证明
  • 克拉默法则
  • 特征值计算
  • 二次型正定判定

七、主要公式

  1. 上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
  2. 关于副对角线的行列式=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}...a_{n1}
  3. 两个特殊的拉普拉斯展开式 主对角线\left | A \right |\cdot \left | B \right | 副对角线(-1)^{mn}\left | A \right |\cdot \left | B \right |
  4. 范德蒙行列式 =\prod_{1\leqslant j< i\leqslant n}(x_i-x_j)
  5. 特征多项式

设A是3阶矩阵，则A的特征多项式\left | \lambda E-A \right |=\lambda ^{3}-(a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda ^{2}+s_2\lambda -\left | A \right |

其中

s_2=\left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right | + \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right | + \left | \begin{array}{ccc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right |

八、n阶方阵的行列式

\left | A^T \right |=\left | A \right |

\left | kA \right |=k^n \left | A \right |

\left | AB \right |=\left | A \right |\cdot \left | B \right |

\left | A^* \right |=\left | A \right |^{n-1}

\left | A^{-1} \right |=\left | A \right |^{-1}

\left | A \right |=\prod_{i=1}^{n}\lambda _i

if A\sim B,then \left | A \right |=\left | B \right |,\left | A+kE \right |=\left | B+kE \right |

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