数据结构（六）二叉树

一、树形结构

概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

1、有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

2、除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

3、树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

二、二叉树

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空

2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵

二叉树的层数为K，且结点总数是

，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n

个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完

全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)(i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k-1(k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

-若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

-若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

-若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树

二叉树的基本操作

class TreeNode{public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val) {this.val = val;}
}
public class TestBinaryTree {public TreeNode creteTree(){TreeNode A=new TreeNode('A');TreeNode B=new TreeNode('B');TreeNode C=new TreeNode('C');TreeNode D=new TreeNode('D');TreeNode E=new TreeNode('E');TreeNode F=new TreeNode('F');TreeNode G=new TreeNode('G');TreeNode H=new TreeNode('H');A.left=B;A.right=C;B.left=D;B.right=E;E.right=H;C.left=F;C.right=G;return A;//根节点}// 前序遍历void preOrder(TreeNode root){if (root==null){return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}// 中序遍历void inOrder(TreeNode root){if (root==null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}// 后序遍历void postOrder(TreeNode root){if (root==null){return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");}public static int count=0;// 获取树中节点的个数int size1(TreeNode root) {if (root==null){return 0;}count++;size1(root.left);size1(root.right);return count;}public int size(TreeNode root){if (root==null){return 0;}int tmp=size(root.left)+size(root.right)+1;return tmp;}public static int leafCount=0;// 获取叶子节点的个数void getLeafNodeCount1(TreeNode root) {if (root==null){return;}if (root.left==null&&root.right==null){leafCount++;}getLeafNodeCount1(root.left);getLeafNodeCount1(root.right);}// 子问题思路-求叶子结点个数public int getLeafNodeCount(TreeNode root){if (root==null){return 0;}if (root.left==null&&root.right==null){return 1;}int tmp=getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);return tmp;}// 获取第K层节点的个数int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){if (root==null){return 0;}if (k==1){return 1;}int tmp=getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);return tmp;}// 获取二叉树的高度int getHeight(TreeNode root) {if (root==null){return 0;}int leftH=getHeight(root.left);int rightH=getHeight(root.right);return leftH > rightH ? leftH+1 : rightH+1;}// 检测值为value的元素是否存在TreeNode find(TreeNode root, char val) {if (root==null){return null;}if (root.val==val){return root;}TreeNode ret=find(root.left,val);if (ret!=null){return ret;}ret=find(root.right,val);if (ret!=null){return ret;}return null;}
}