【考研数学】概率论与数理统计 —— 第七章 | 参数估计（2，参数估计量的评价、正态总体的区间估计）

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一、参数估计量的评价标准

1.1 无偏性

设 $X$ 为总体，$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，$\theta$ 为未知参数，设 $\hat{\theta }=\phi (X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为参数 $\theta$ 的一个点估计量，若 $E(\hat{\theta })=\theta$ ，称 $\hat{\theta }$ 为参数 $\theta$ 的无偏估计量。

【例】 设总体 $X$ 的密度函数为 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x/{\theta }^2& 0<x<\theta \\ 0& else\end{array}$$ $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。

（1）求参数 $\theta$ 的矩估计量；（2）求参数 $\theta$ 的最大似然估计量；（3）矩估计量是否为无偏估计。

解： （1）$E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=2\theta /3$ ，令 $2\theta /3=\overline{X}$ ，则可得矩估计量 $$\hat{\theta }=\frac{3\overline{X}}{2}.$$ （2）构造似然函数 $$\begin{gathered} L(\theta )=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)=\frac{2^n}{{\theta }^{2n}}{x}_1{x}_2\cdots x_n(0<x_i<\theta ,i=1,2,\cdots ,n). \\ \frac{d\ln L}{d\theta }=-\frac{2n}{\theta }<0. \end{gathered}$$ 可知 $L(\theta )$ 是 $\theta$ 的减函数，因此最大似然估计量 θ ^ = max ⁡ { X 1 , X 2 , ⋯ , X n } \widehat{\theta}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} θ =max{X1​,X2​,⋯,Xn​} 。

（3）$E(\hat{\theta })=3/2\cdot E(\overline{X})=3/2\cdot 2\theta /3=\theta$ ，故是无偏估计量。

1.2 有效性

设 $X$ 为总体，$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，$\theta$ 为未知参数，设 ${\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2$ 都是参数 $\theta$ 的无偏估计量，若 $D({\hat{\theta }}_1)<D({\hat{\theta }}_2)$ ，称 ${\hat{\theta }}_1$ 为更有效的参数估计量。

1.3 一致性

设 $X$ 为总体，$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，$\theta$ 为未知参数，设 $\hat{\theta }=\phi (X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为参数 $\theta$ 的一个估计量，若对任意 $ϵ>0$ ，有 lim ⁡ n → ∞ P { ∣ θ ^ − θ ∣ < ϵ } = 1 \lim_{n\to\infty}P\{|\widehat{\theta}-\theta|<\epsilon\}=1 n→∞lim​P{∣θ −θ∣<ϵ}=1 称 $\hat{\theta }$ 作为 $\theta$ 的估计量具有一致性（或相合性）。

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二、一个正态总体参数的双侧区间估计

前面我们所学的两种方法为点估计法，即只能得到一个值，但实际上我们并非需要那么精确，况且点估计出来也不一定好，因此我们最好是估计一个区间范围。

2.1 对参数 $\mu$ 的双侧区间估计

设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 为总体，$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，$0<\alpha <1$ ，求参数的置信度为 $1-\alpha$ 的双侧置信区间。

1. 参数 ${\sigma }^2$ 已知

对 $\overline{X}$ 标准化为标准正态分布，令其在 $-z_{\frac{\alpha }{2}}$ 和 $z_{\frac{\alpha }{2}}$ 内的概率为 $1-\alpha$，可求出置信区间为 $$(\overline{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\frac{\alpha }{2}},\overline{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\frac{\alpha }{2}})$$ 2. 参数 ${\sigma }^2$ 未知

则利用 $t$ 分布，即取 $$\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$$ 令其在 $(-t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1),t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1))$ 的概率为 $1-\alpha$ ，可计算出置信区间为 $$(\overline{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\frac{\alpha }{2}}(n-1),\overline{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\frac{\alpha }{2}}(n-1))$$ 此外还有对 ${\sigma }^2$ 的区间估计，汇总成下表：

三、一个正态总体的单侧置信区间

其实单侧也就是双侧的区间取一端，如估计 $\mu$ 且 ${\sigma }^2$ 已知，单侧置信区间为：$$(\overline{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\frac{\alpha }{2}},+\infty ),(-\infty ,\overline{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\frac{\alpha }{2}})$$ 其余以此类推。

四、两个正态总体的双侧置信区间

汇总成表：

其中$$S_w=\frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2}$$

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写在最后

看了下大纲，对区间估计的概念和一个、两个正态总体的置信区间公式作了理解要求，后期抽时间记忆记忆。