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线性代数第二章矩阵

news 2025/7/8 8:36:27

一、概念

$m\times n$ 个数排成的m行n列的表格

二、运算法则

三、初等变换

（1）用非零常数k乘矩阵的某一行（列）；

（2）互换矩阵某两行（列）的位置；

（3）把某行（列）的k倍加至另一行（列）。

称为矩阵的初等行（列）变换，统称初等变换。矩阵经初等行变换后秩不变。

初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。用初等矩阵P左（右）乘矩阵A，其结果PA（AP）就是对矩阵A作一次相应的初等行（列）变换。初等矩阵均可逆，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵，即

$E_{i}^{-1}(k)=E_{i}^{-1}(\frac{1}{k}),E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}^{-1}(-k),E_{ij}^{-1}=E_{ij}$

等价：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作 $A\cong B$ 。矩阵等价的充分必要条件是，存在可逆矩阵P与Q，使 $PAQ=B$ 。

四、特殊矩阵

转置矩阵：矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，记作 $A^T$

$(A^T)^T=A$

$(A+B)^T=A^T+B^T$

$(kA)^T=kA^T$

$(AB)^T=B^TA^T$

伴随矩阵：矩阵A的每个元素被其代数余子式所取代而构成的矩阵，记作 $A^*$ 。

对于二阶矩阵，主对角线元素互换，副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。

$AA^*=A^*A=\left | A \right |E\Leftrightarrow A^*=\left | A\right |A^{-1}$

$\left | A^* \right |=\left | A \right |^{n-1}$

$(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{\left | A \right |}A$

$(A^*)^T=(A^T)^*$

$(kA)^*=k^{n-1}A^*$

$(A^*)^*=\left | A \right |^{n-2}A$

$r(A^*)=\left\{\begin{matrix} n, \ if \ r(A)=n,\qquad \\ 1,\ if \ r(A)=n-1,\\ 0,\ if \ r(A)<n-1. \end{matrix}\right.$

可逆矩阵：存在n阶矩阵B $AB=BA=E$ （单位矩阵），则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵。

若n阶矩阵A可逆，则

$\left | A \right |\neq 0$
$r(A)=n$
A的列（行）向量组线性无关
$A=P_1P_{2}...P_s,P_i(i=1,2,...,s)$ 是初等矩阵
A与单位矩阵等价
0不是矩阵A的特征值

对称矩阵：满足 $A^T=A$

反对称矩阵：满足 $A^T=-A$

正交矩阵：满足 $AA^T=A^TA=E\Leftrightarrow A^{-1}=A^T$

对角矩阵

分块矩阵

五、计算逆矩阵

六、秩

秩r(A)=A的列秩=A的行秩

$r(A^T)=r(A)$

$r(A^TA)=r(A)$

$r(kA)=r(A)(k\neq 0)$

$r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)$

$r(AB)\leqslant min(r(A),r(B))$

若A可逆，则 $r(AB)=r(BA)=r(B)$

若A列满秩，则 $r(AB)=r(B)$

若A是 $m\times n$ 矩阵，B是 $n\times s$ 矩阵， $AB=O$ ，则 $r(A)+r(B)\leqslant n$

$r\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}=r(A)+r(B)$

若 $A\sim B$ ，则 $r(A)=r(B),r(A+kE)=r(B+kE)$

线性代数第二章矩阵

一、概念个数排成的m行n列的表格二、运算法则三、初等变换 （1）用非零常数k乘矩阵的某一行（列）； （2）互换矩阵某两行（列）的位置； （3&#…...

编程日记 2023/11/5 0:32:21

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Selenium安装WebDriver Chrome驱动(含 116/117/118/119/120/)

1、确认浏览器的版本在浏览器的地址栏，输入chrome://version/，回车后即可查看到对应版本 2、找到对应的chromedriver版本 2.1 114及之前的版本可以通过点击下载chromedriver,根据版本号（只看大版本）下载对应文件 2.2 116版本…...

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在投标方案中要善于使用“分页符”，尽可能少使用分节符号，没有分页符前，你每次修改你的标书或者文件，增加或者修改内容后。你的格式字段前后都是会发生变化，如何稳定的保证结构呢，那就是分页符的使用&#…...

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写于2025 6.9 主包将加入vscode这个更权威的圈子 vscode的基本使用侧边栏 vscode还能连接ssh？ debug时使用的launch文件 1.task.json {"tasks": [{"type": "cppbuild","label": "C/C: gcc.exe 生成活动文件"…...

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注：微信小程序云开发平台指的是腾讯云开发先给结论：微信小程序云开发平台的MySQL，无法通过获取数据库连接信息的方式进行连接，连接只能通过云开发的SDK连接，具体要参考官方文档： 为什么？ 因为…...

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