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线性代数第二章矩阵

news 2026/5/13 23:18:39

一、概念

$m\times n$ 个数排成的m行n列的表格

二、运算法则

三、初等变换

（1）用非零常数k乘矩阵的某一行（列）；

（2）互换矩阵某两行（列）的位置；

（3）把某行（列）的k倍加至另一行（列）。

称为矩阵的初等行（列）变换，统称初等变换。矩阵经初等行变换后秩不变。

初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。用初等矩阵P左（右）乘矩阵A，其结果PA（AP）就是对矩阵A作一次相应的初等行（列）变换。初等矩阵均可逆，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵，即

$E_{i}^{-1}(k)=E_{i}^{-1}(\frac{1}{k}),E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}^{-1}(-k),E_{ij}^{-1}=E_{ij}$

等价：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作 $A\cong B$ 。矩阵等价的充分必要条件是，存在可逆矩阵P与Q，使 $PAQ=B$ 。

四、特殊矩阵

转置矩阵：矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，记作 $A^T$

$(A^T)^T=A$

$(A+B)^T=A^T+B^T$

$(kA)^T=kA^T$

$(AB)^T=B^TA^T$

伴随矩阵：矩阵A的每个元素被其代数余子式所取代而构成的矩阵，记作 $A^*$ 。

对于二阶矩阵，主对角线元素互换，副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。

$AA^*=A^*A=\left | A \right |E\Leftrightarrow A^*=\left | A\right |A^{-1}$

$\left | A^* \right |=\left | A \right |^{n-1}$

$(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{\left | A \right |}A$

$(A^*)^T=(A^T)^*$

$(kA)^*=k^{n-1}A^*$

$(A^*)^*=\left | A \right |^{n-2}A$

$r(A^*)=\left\{\begin{matrix} n, \ if \ r(A)=n,\qquad \\ 1,\ if \ r(A)=n-1,\\ 0,\ if \ r(A)<n-1. \end{matrix}\right.$

可逆矩阵：存在n阶矩阵B $AB=BA=E$ （单位矩阵），则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵。

若n阶矩阵A可逆，则

$\left | A \right |\neq 0$
$r(A)=n$
A的列（行）向量组线性无关
$A=P_1P_{2}...P_s,P_i(i=1,2,...,s)$ 是初等矩阵
A与单位矩阵等价
0不是矩阵A的特征值

对称矩阵：满足 $A^T=A$

反对称矩阵：满足 $A^T=-A$

正交矩阵：满足 $AA^T=A^TA=E\Leftrightarrow A^{-1}=A^T$

对角矩阵

分块矩阵

五、计算逆矩阵

六、秩

秩r(A)=A的列秩=A的行秩

$r(A^T)=r(A)$

$r(A^TA)=r(A)$

$r(kA)=r(A)(k\neq 0)$

$r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)$

$r(AB)\leqslant min(r(A),r(B))$

若A可逆，则 $r(AB)=r(BA)=r(B)$

若A列满秩，则 $r(AB)=r(B)$

若A是 $m\times n$ 矩阵，B是 $n\times s$ 矩阵， $AB=O$ ，则 $r(A)+r(B)\leqslant n$

$r\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}=r(A)+r(B)$

若 $A\sim B$ ，则 $r(A)=r(B),r(A+kE)=r(B+kE)$

线性代数第二章矩阵

一、概念个数排成的m行n列的表格二、运算法则三、初等变换 （1）用非零常数k乘矩阵的某一行（列）； （2）互换矩阵某两行（列）的位置； （3&#…...

编程日记 2023/11/5 0:32:21

vue实现自定义字体

1、字体资源查找网址 https://eng.m.fontke.com/ 选择想要的字体之后下载获取文件夹内的.ttf文件 2 、字体引入在项目根目录下新建font文件夹，将ttf文件放在里面 3、相应的页面vue文件中引入在style标签中加上 font-face { font-family: ‘ZCOOLXiaoWei’…...

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Selenium安装WebDriver Chrome驱动(含 116/117/118/119/120/)

1、确认浏览器的版本在浏览器的地址栏，输入chrome://version/，回车后即可查看到对应版本 2、找到对应的chromedriver版本 2.1 114及之前的版本可以通过点击下载chromedriver,根据版本号（只看大版本）下载对应文件 2.2 116版本…...

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springboot的安全机制

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学习c++的第四天

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编程日记 2023/11/5 0:26:09

BIOS开发笔记 – 显示

UEFI启动流程跑完前三阶段，UEFI环境的准备基本完成，到BDS阶段的任务就是准备引导OS。在此之前还需要使一些必要的硬件工作起来，比如键盘设备，屏幕等，怎么让屏幕工作呢？简单的说就是执行其相关的UEFI驱动。要注意一下的是，这里所说的驱动并不是屏幕的驱动，而是GPU的驱动…...

编程日记 2023/11/5 0:25:08

数据库实验：SQL的数据视图

目录视图概述视图的概念视图的作用实验目的实验内容实验要求实验过程视图概述视图是由数据库中的一个表或多个表导出的虚拟表，其作用是方便用户对数据的操作视图的概念视图是一个虚拟表，其内容由查询定义。同真实的表一样，视图包含一…...

编程日记 2023/11/5 0:24:08

k8s-调度约束

目录工作机制调度过程指定调度节点亲和性键值运算关系 Pod亲和性与反亲和性污点(Taint) 和容忍(Tolerations) 维护操作故障排除步骤 Kubernetes 是通过 List-Watch 的机制进行每个组件的协作，保持数据同步的，每个组件之间的设计实现了…...

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C++设计模式_26_设计模式总结

本篇为C++设计模式的总结课，此篇再回到原帮助大家梳理一下。文章目录 1. 一个目标2. 两种手段3. 八大原则4. 重构技法5. 从封装变化角度对模式分类6. C++对象模型7. 关注变化点和稳定点8. 什么时候不用模式9. 经验之谈10. 设计模式成长之路1. 一个目标管理变化，提高复用！…...

编程日记 2023/11/5 0:22:06

解锁AI语言模型的秘密武器 - 提示工程

文章目录一、LLM概念1.1 什么是LLMs1.2 LLMs类别1.3 如何构建LLM 二、提示工程简介2.1 基础提示2.2 使用提示词的必要性三、提示3.1 如何写好提示词3.1.1 使用分隔符3.1.2 结构化输出3.1.3 风格信息3.1.4 给定条件3.1.5 给出示例3.1.6 步骤分解3.1.7 不断迭代 3.2 提示工程3…...

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基于ASP.NET MVC Bootstrap的仓库管理系统。源码亲测可用，含有简单的说明文档。适合单仓库，基本的仓库入库管理，出库管理，盘点，报损，移库，库位等管理，有着可视化图表。系统采用Bo…...

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编程日记 2023/11/5 0:12:53

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编程日记 2023/11/5 0:11:52

python用cv2画图（line, rectangle, text等）

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编程日记 2023/11/5 0:10:51

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在投标方案中要善于使用“分页符”，尽可能少使用分节符号，没有分页符前，你每次修改你的标书或者文件，增加或者修改内容后。你的格式字段前后都是会发生变化，如何稳定的保证结构呢，那就是分页符的使用&#…...

编程日记 2023/11/5 0:09:50

1.8.2 掌握Scala类与对象 - 单例对象与伴生对象

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编程新知 2026/5/13 21:51:14

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二、运算法则

三、初等变换

四、特殊矩阵

五、计算逆矩阵

六、秩

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