刷题记录:牛客NC23054华华开始学信息学 线段树+分块

传送门:牛客

题目描述:

题目latex公式较多,此处省略
输入:
10 6
1 1 1
2 4 6
1 3 2
2 5 7
1 6 10
2 1 10
输出:
3
5
26

这道题让我体验到的线段树相对于树状数组的常数巨大

我们倘若直接用单点修改的话，如果D过小比如1那么我们足足要加n次，时间复杂度爆炸。
那如果我们把每次要相加的记录下来lazy[D]+=K那么在我们计算和时

for (int i=1;i<=n;i++)ans+=(b/i - (a-1)/i)*lazy[i]

我们发现我们同样复杂度无法接受

所以对于本题来说,我们需要有一个分块的想法,也就是找一个界限,在界限的两边采用不同的算法,使得我们的总体复杂度可以接受.我们设这个度为S.我们发现我们的模数越大,显然对直接暴力修改时越有利的,因为我们需要修改的点就越小.反之我们应选用记录lazy的方式

那么对于第一种方法来说,我们的最坏复杂度为$n/S\ast logn\ast m$
对于第二种方法来说,我们的最坏复杂度为$S\ast m$
我们的总体复杂度为$n/S\ast logn\ast m+S\ast m$(实际上应该是小于这个值的,因为操作总数为m,此时为了方便,我们将两种方法都当做m)
此时显然运用均值不等式的小知识,我们会发现当$S$=$\sqrt{n\ast logn}$时取到最小值,此时我们的复杂度大概为$1e8$左右

此时我就要吐槽了,牛客上对于这道题,几乎所有的解法(包括题解),都是直接取用$S$=$\sqrt{n}$,此时的复杂度应该是$m\ast \sqrt{n}\ast logn$,达到了1e9多了,然而他们使用树状数组是可以直接过的(还跑的飞快).嗯,我可以理解,毕竟时限开到了$2s$,牛客跑的快,可能仍然可以跑过去.但是我TM使用线段树就被卡了,我直接想大骂,难道就没人尊重线段树爱好者吗(虽然线段树常数确实较大),想用线段树的话必须要用上述的最优的分界点S

并且因为直接计算$\sqrt{n\ast logn}$速度较慢所以我们不能把这个式子放在循环里,这样依旧会Tle,所以我们需要提前计算出这个值(当时我还以为这道题卡定线段树了呢,即使用了最优分界点仍然过不去…)

下面是具体的代码部分:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1,n,1
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
inline ll read() {ll x=0,w=1;char ch=getchar();for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';return x*w;
}
#define int long long
#define maxn 1000000
const double eps=1e-8;
#define	int_INF 0x3f3f3f3f
#define ll_INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
struct Segment_tree{int l,r,sum;
}tree[maxn*4];
int n,m;
void pushup(int rt) {tree[rt].sum=tree[ls].sum+tree[rs].sum;
} 
void build(int l,int r,int rt) {tree[rt].l=l;tree[rt].r=r;if(l==r) return ;int mid=(l+r)>>1;build(lson);build(rson);
}
void update(int pos,int v,int rt) {if(tree[rt].l==pos&&tree[rt].r==pos) {tree[rt].sum+=v;return ;}int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)>>1;if(pos<=mid) update(pos,v,ls);else update(pos,v,rs);pushup(rt);
}
int query(int l,int r,int rt) {if(tree[rt].l==l&&tree[rt].r==r) {return tree[rt].sum;}int mid=(tree[rt].l+tree[rt].r)>>1;if(r<=mid) return query(l,r,ls);else if(l>mid) return query(l,r,rs);else return query(l,mid,ls)+query(mid+1,r,rs);
}
int Add[maxn];
signed main() {n=read();m=read();build(root);double sq=sqrt((double)n*log((double)n));for(int i=1;i<=m;i++) {int opt=read();if(opt==1) {int d=read(),k=read();if(d>sq) {
//				cout<<d<<" "<<sqrt((double)n*log((double)n))<<endl;for(int i=d;i<=n;i+=d) {update(i,k,1);}}else {Add[d]+=k;}}else {int l=read(),r=read();int ans=query(l,r,1);for(int i=1;i<=sq;i++){ans+=Add[i]*(r/i-(l-1)/i);}printf("%lld\n",ans);}}return 0;
}