空间曲面@常见曲面方程

曲面的基本问题

1. 根据曲面(点的几何轨迹)建立对应的方程
   • 例如,更具点法式建立平面方程,就是本类问题
2. 根据方程研究对应的曲面形状

特殊曲面

• 最简单的曲面包括:平面和球面
• 在平面一节我们单独地讨论了相关的性质定理和应用

球面方程

• 确定一个球面的要素有两个:
  • 球心
  • 半径
• 建立球心为$R(x_0,y_0,z_0)$,半径为R的球方程
  • 根据球面上的点和球心距离恒等于半径以及空间两点间距离的计算公式来直观的建立空间直角坐标系内球面方程
    • $|M{M}_0|=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}=R$

球的标准形方程

• $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$,

• 特别的,当球心位于坐标原点$(0,0,0)$方程形式简化为$x^2+y^2+z^2=R^2$

一般形方程

• $$x^2+y^2+z^2-2(x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z)+x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2=0$$

  • 关于$x,y,z$的一次多形式$D(x,y,z)=2(x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z)$
  • 记常数$E=x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2$

• $$x^2+y^2+z^2+D(x,y,z)+E=0$$

• 将一般式化为标准式时,根据$D(x,y,z)$可以直接确定圆心坐标$M_0(x_0,y_0,z_0)$,只需要对除以系数$-2$即可

例

• 方程$x^2+y^2+z^2-2x+4y=0$
  • $(x-1{)}^2+(y-(-2){)}^2+z^2=1+4+5$
  • $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=5$

柱面

• 柱面由母线和准线确定,母线是直线,而准线是平面曲线

• 动直线L沿动定曲线C平行移动时所生成的曲面叫作柱面

  • 定曲线C叫作柱面的准线
    • 曲线C的轨迹可以是不闭合的
  • 动直线L叫作柱面的母线
    • 直线可以是斜的,而未必是垂直与某个坐标面

• 母线决定了柱体的侧面

• 准线决定了主体的地面

• 虽然给定母线和准线,可以唯一确定一个柱面,但给定一个柱面却无法确定唯一的准线,

  • 准线可以是非平面曲线,但这些直线沿着母线的投影到坐标面上的曲线是相同的

柱面方程

• 我们主要讨论的是母线平行于坐标轴的柱面,是最简单也是最长见的柱面类型

• 平面曲线的方程仅包含2个字母,例如$xOy$上的曲线可以表示为$f(x,y)=0$,准线是平面曲线也是主要的研究类型

• 例如,准线$C$是$xOy$坐标面上的曲线,其方程为$f(x,y)=0$,而母线平行于$z$轴的空间柱面方程可以表示为$f(x,y)=0$

不同维度下同方程的图形

• 同一个方程在不同维度下表示不同的图形,例如$f(x,y)=0$在二维平面上表示一条曲线,而在三维空间中,表示柱面
  • 联系:柱面$f(x,y)=0$在$xOy$平面上的准线$C$在三维空间中用$f(x,y)=0;z=0$两个方程表示

常见柱面方程

母线平行于$z$轴的二次曲面

• 圆柱方程:$x^2+y^2=R$

• 椭圆柱面方程:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

• 双曲柱面方程:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

• 抛物柱面方程:$y^2=2px$

旋转曲面

• 以一条平面曲线$C$绕其平面上的一定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面
• 旋转曲线$C$称为旋转曲面的母线,定直线称为旋转曲面的轴

旋转曲面的方程

• 平面曲线(绕坐标轴)旋转类曲面的共同特点是可以利用几何关系:曲线上的各点在旋转过程中旋转半径恒定
• 某个点的相对于其旋转轴的距离(旋转半径)的计算可以使用点坐标的距离公式计算
• 为了建立旋转后的点所满足的方程(面由点构成,因此曲面上的点满足的方程也是旋转曲线后构成的曲面的方程)
  • 设曲线C若属于某个坐标面,该平面包含的两个坐标轴记为$u_1,u_2$,另一个轴是该平面的法线方向,记为$u_0$
  • 设已知曲线上的点$M_1=(x_1,y_1,z_1)$坐标满足曲线方程$C:f(u_1,u_2)=0$(曲线方程仅包含变量$u_1,u_2$,因为$u_0=0$在坐标面$u_{1}O{u}_2$上是恒定的)
  • 将旋转后的点的坐标记为$M=(x,y,z)$,其中,$M$在旋转轴坐标轴$u_0$上的坐标分量和$M_1$的相同,记为$u_0(M)=u_0(M_1)$,其中函数$u_0(M)$表示计算点$M$在$u_0$轴上的坐标分量(即投影),可以类似地定义$u_1(M),u_2(M)$分别表示点M在$u_1,u_2$轴上的投影

旋转情况分类

• 绕$u_1$轴旋转

• 曲线C上的点$M_1$在旋转过程中的轨迹所在平面和$u_{0}O{u}_2$平行

• 根据勾股定理,可以确定$M_1,M$在非旋转轴坐标轴上的坐标的关系为:平方和相等,记为$u_0(M{)}^2+u_2(M{)}^2=u_0(M_1{)}^2+u_2(M_1{)}^2$

• 而曲线$C$属于平面$u_{1}O{u}_2$,从而$u_0(M{)}^2+u_2(M{)}^2=u_2(M_1{)}^2$仅根据这个关系,我们还无法得到能够完整描述$M$的各个坐标分量的关系(方程),需要借助曲线$C$的方程$C:f(u_1,u_2)=0$

  • 由于点$M_1$在$C$上,成立$D:f(u_1(M_1),u_2(M_1))=0$
  • $u_2(M_1)=\pm \sqrt{u_0(M{)}^2+u_2(M{)}^2}$
  • $u_1(M)=u_1(M_1)$,即$u_1(M_1)=u_1(M)$
  • 方程$D$,得到$f(u_1(M),\pm \sqrt{u_0(M{)}^2+u_2(M{)}^2})=0$,也就是关于点$M$的三个坐标分量的关系方程(作为旋转曲面的方程)

• 类似的,可以讨论绕$u_2$轴旋转的情况

以yOz上的曲线绕$z$轴旋转为例

• 设在$yOz$坐标面上有曲线$C:f(y,z)=0$

• 把$C$绕$z$轴旋转一周,得到一个以$z$轴为轴的旋转曲面,它的方程的构造:

  • 设$M_1(0,y_1,z_1)$是曲线$C$上的一点(位于坐标面$yOz$),有$f(y_1,z_1)=0$成立

  • 当$C$绕$z$轴旋转时,点$M_1$绕$z$轴转到另一点$M(x,y,z)$

  • 此时$z=z_1$

  • 同时点$M$,到$z$轴的距离,$d=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{0^2+y_1^2}=|y_1|$,此时$y_1=\pm d=\pm \sqrt{x^2+y^2}$

  • 将$z_1,y_1$带入到$f(y_1,z_1)=0$,即$f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$

旋转曲面的方程

• 曲面方程就是描述曲面上所有点的坐标满足的关系式(方程式)
  • 因此,我们可以任意取曲面上的某个点$P(x,y,z)$进行研究,得到$x,y,z$的方程
  • 旋转曲面由其母线和旋转轴唯一确定,因此旋转曲面的方程和母线方程有密切联系
  • 我们考虑将旋转曲面上的任意点$P$和母线上的某点$P_1$联系起来,利用母线上的点满足母线方程的事实来得到曲面方程
  • 即,可以通过研究旋转曲面的母线$C$上的任意一点在旋转过程中形成的轨迹方程来得到旋转曲面的方程
• 以$yOz$平面上的曲线$C:f(y,z)=0$绕$z$轴旋转一周得到的旋转曲面方程求解为例
  • 设$P(x,y,z)$是旋转曲面$\Pi$上的任意一点,该曲面有$yOz$坐标面上的曲线$C$作为旋转母线绕$z$轴旋转一周得到的,设$C$的方程为$f(y,z)=0$
  • 显然,点$P(x,y,z)$可看作是由曲线$C$上的某点$P_1$旋转得到
    • $P,P_1$具有相同的$z$轴坐标,并且$P_1$是$yOz$面(即$x=0$平面)上的点,因此$P_1$的$x$轴坐标为0,因此可设$P_1(0,y_1,z)$
    • 另一方面,由旋转关系可知,$x^2+y^2$=$y_1^2$,即$y_1=\pm \sqrt{x^2+y^2}$
    • 从而$P_1$的坐标分量可以表示为$x,y,z$的式子:$P_1(0,\pm \sqrt{x^2+y^2},z)$,而$P_1$满足曲线$C$的方程$f(y,z)=0$,所以$f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$(1),此方程描述了旋转曲面上任意点满足的方程,即旋转曲面的方程
• 类似的,若旋转曲面是曲线$C$绕着$y$轴旋转,得到的旋转曲面方程为$f(y,\pm \sqrt{x^2+z^2})=0$(2)
• 方程(1,2)都包含了$x,y,z$三个变量

常见旋转曲面方程

• $yOz$面上抛物线$C:y^2=2pz$绕$z$轴旋转所成的曲面方程为$x^2+y^2=2pz$,这类曲线称为旋转抛物面

• $yOz$面上椭圆线$C:\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$绕$z$轴旋转所成的曲面方程为$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$,这类曲线称为旋转椭圆面

• $xOz$面上双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$绕$z$轴,$x$轴旋转所成的曲面方程分别为$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$,$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1$,这两类曲线分别称为旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面

锥面

• 移动直线$L$,使它始终通过点$Q$且始终与定曲线$C$相交,这样由$L$所生成的曲面叫做锥面
• 特征:顶点与曲面上任意其他点的连线都在曲面上,若顶点在原点,则顶点与锥面上一点$P(x,y,z)$的连线直线$L$方程的参数方程可知,$L$上任意点$T$可以表示为$(tx,ty,tz)$,$t$可以为任意实数
• 因此若$P(x,y,z)$满足$f(x,y,z)=0$,则$T(tx,ty,tz)$也满足$f(x,y,z)=0$

其他曲面

• 一般的,对于给定的曲面方程,可以考察:
  • 对称性
  • 图形范围
• 描绘一般曲线方程的图形通常比较困难,但是可以用一组平面取截曲面,得到一组交线(截痕),可以获得大体的曲面形状
  • 常用截面为简单平面方程,例如$z=z_0$