Sequence（矩阵连乘+数论）

求Fn mod 1e9+7

Input

第一行是一个t代表有t组数据
接下来有t行每行有6个整数A,B,C,D,P,n
1<=t<=10
0<=A,B,C,D<=1e9
1<=p,n<=1e9

Output

输出一个答案Fn对1e9+7取余

Sample Input

2 
1 1 1 1 1 5
1 1 1 1 10 4

Sample Output

9
10

思路：

p/n上取整，一直会随着n的变化而变化，所以我们可以分一段一段的计算；

p/n上取整=(p+n-1)/n=(p-1)/n+1;

有个数学小知识：求∑(1,n)⌊k/i⌋∗i-CSDN博客

当我们知道一段区间的下界i，我们可以利用k/(k/i),求出其上界;

当我们知道一段区间的下界时，可以计算出它的上界，快速幂连乘即可。

代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<math.h>
#include<unordered_map>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
#define per(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define ber(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
const int N = 1e5;
const long long mod = 1e9+7;
const double eps = 1e-2;
typedef struct data
{
    LL m[3][3];

}J;
J Q,E;
LL a, b, c, d, p, n;
J now, e,ans;
LL f[3],tmp[3];
void into()
{
      Q= { d,c,1,
           1,0,0,
           0,0,1 };
      E = { 1,0,0,
         0,1,0,
         0,0,1 };
 }
J quickfu(J a, J b)
{
    J c;
    for (int i = 0; i <= 2; i++)
        for (int j = 0; j <= 2; j++)
        {
            c.m[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k <= 2; k++)
                c.m[i][j] = (c.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % mod) % mod;
            c.m[i][j] = (c.m[i][j] % mod + mod)%mod;
        }
    return c;
}
J quick(J a, LL b)
{
    J ans = e;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = quickfu(ans , a);
        b >>= 1;
        a = quickfu(a, a);
    }
    return ans;
}
int main()
{  
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        cin >> a >> b >> c >> d >> p >> n;
        into();
        now = Q;
        e = E;
        if (n == 1)
        {
            cout << a % mod << endl;
            continue;
        }
        if (n == 2)
        {
            cout << b % mod << endl;
            continue;
        }
        p -= 1;
        f[0] = b, f[1] = a;
        for (LL i = 3, j = 1; i <= n; i = j + 1)
        {
            f[2] = p / i + 1;
            LL x =p / i;
            if (x == 0)
                j = n;
            else
             j = min(n, p / x);
            ans = quick(Q, j - i+1);
            for (int l = 0; l <= 2; l++)
            {
                tmp[l] = 0;
                for (int w = 0; w <= 2; w++)
                    tmp[l] = (tmp[l] + ans.m[l][w] * f[w]) % mod;
            }
            for (int l = 0; l <= 2; l++)
                f[l] = tmp[l];
        }
        cout <<f[0]<< endl;
    }
    return 0;
}