当前位置: 首页 > news >正文

矩阵的QR分解

矩阵的QR分解

GramSchmidt

设存在 B = { x 1 , x 2 , … , x n } \mathcal{B}=\left\{\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\ldots,\mathbf{x}_{n}\right\} B={x1,x2,,xn}在施密特正交化过程中

  1. q 1 = x 1 ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ q_1=\frac{x_1}{||x_1||} q1=∣∣x1∣∣x1
  2. q k = x k − ∑ i = 1 k − 1 < q i , x k > u i ∣ ∣ x k − ∑ i = 1 k − 1 < q i , x k > u i ∣ ∣ q_k=\frac{x_k-\sum_{i=1}^{k-1}\left< q_i,x_k\right>u_i}{||x_k-\sum_{i=1}^{k-1}\left< q_i,x_k\right>u_i||} qk=∣∣xki=1k1qi,xkui∣∣xki=1k1qi,xkui

对于任意一个矩阵 A m × n = { a 1 ∣ a 2 ∣ … ∣ a n } A_{m\times n}=\{a_1|a_2|\dots|a_n\} Am×n={a1a2an},其行向量线性无关,则存在 A = Q R A=QR A=QR,其 Q m × n = { q 1 ∣ q 2 ∣ … ∣ q n } Q_{m\times n}=\{q_1|q_2|\dots|q_n\} Qm×n={q1q2qn}矩阵是 R ( A ) R(A) R(A)的一组正交基, R m × m R_{m\times m} Rm×m是一个上三角矩阵,则
R = ( ν 1 q 1 ∗ a 2 q 1 ∗ a 3 ⋯ q 1 ∗ a n 0 ν 2 q 2 ∗ a 3 ⋯ q 2 ∗ a n 0 0 ν 3 ⋯ q 3 ∗ a n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ ν n ) \mathbf{R}=\begin{pmatrix}\nu_1&\mathbf{q}_1^*\mathbf{a}_2&\mathbf{q}_1^*\mathbf{a}_3&\cdots&\mathbf{q}_1^*\mathbf{a}_n\\0&\nu_2&\mathbf{q}_2^*\mathbf{a}_3&\cdots&\mathbf{q}_2^*\mathbf{a}_n\\0&0&\nu_3&\cdots&\mathbf{q}_3^*\mathbf{a}_n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&\nu_n\end{pmatrix} R= ν1000q1a2ν200q1a3q2a3ν30q1anq2anq3anνn
其中 v 1 = ∣ ∣ a 1 ∣ ∣ , v k = ∣ ∣ a k − ∑ i = 1 k − 1 < q i , a k > q i ∣ ∣ for k>1 v_1=||a_1||,v_k=||a_k-\sum_{i=1}^{k-1}<q_i,a_k>q_i|| \quad\text{for k>1} v1=∣∣a1∣∣,vk=∣∣aki=1k1<qi,ak>qi∣∣for k>1

image-20231115204616157

Householder

酉矩阵:一个复数矩阵 U n × n U_{n\times n} Un×n它的行或列构成一个 C n C^n Cn的正交基,其中 U ∗ U = I , ∣ ∣ U x ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 U^*U=I,||Ux||_2=||x||_2 UU=I∣∣Ux2=∣∣x2

对于非0向量 U ∈ C n × 1 U \in C^{n\times 1} UCn×1 ,则 U U U的正交投影是 P u = U U ∗ U ∗ U P_u=\frac{UU^*}{U^*U} Pu=UUUU,其垂直方向的投影是 P u ⊥ = I − U U ∗ U ∗ U P_{u\perp}=I-\frac{UU^*}{U^*U} Pu=IUUUU

初等反射( householder 变换)

其中对于 u ⊥ u^{\perp} u 的初等反射为 R = I − 2 U U ∗ U ∗ U R=I-2\frac{UU^*}{U^*U} R=I2UUUU

对于矩阵 A m × n = [ A ∗ 1 ∣ A ∗ 2 ∣ ⋯ ∣ A ∗ n ] \mathbf{A}_{m\times n}=[\mathbf{A}_{*1}|\mathbf{A}_{*2}|\cdots|\mathbf{A}_{*n}] Am×n=[A1A2An]

构建基本反射 R = I − 2 U U ∗ U ∗ U R=I-2\frac{UU^*}{U^*U} R=I2UUUU,其中 u = A ∗ 1 ± μ ∣ ∣ A ∗ 1 ∣ ∣ e 1 , μ = { 1 if  x 1 is real , x 1 / ∣ x 1 ∣ if  x 1 is not real , u=A_{*1}\pm\mu||A_{*1}||e_1,\quad\left.\mu=\left\{\begin{matrix}1&\text{if }x_1\text{ is real},\\x_1/|x_1|&\text{if }x_1\text{ is not real},\end{matrix}\right.\right. u=A1±μ∣∣A1∣∣e1,μ={1x1/∣x1if x1 is real,if x1 is not real,

根据householder变换可得 R 1 A ∗ 1 = ∓ μ ∥ A ∗ 1 ∥ e 1 = ( t 11 , 0 , ⋯ , 0 ) T \mathbf{R}_1\mathbf{A}_{*1}=\mp\mu\|\mathbf{A}_{*1}\|\mathbf{e}_1=(t_{11},0,\cdots,0)^T R1A1=μA1e1=(t11,0,,0)T

所以 R 1 A = [ R 1 A ∗ 1 ∣ R 1 A ∗ 2 ∣ ⋯ ∣ R 1 A ∗ n ] = ( t 11 t 1 T 0 A 2 ) \left.\mathbf{R}_1\mathbf{A}=[\mathbf{R}_1\mathbf{A}_{*1}|\mathbf{R}_1\mathbf{A}_{*2}|\cdots|\mathbf{R}_1\mathbf{A}_{*n}]=\left(\begin{array}{cc}t_{11}&\mathbf{t}_1^T\\\mathbf{0}&\mathbf{A}_2\end{array}\right.\right) R1A=[R1A1R1A2R1An]=(t110t1TA2),其中 A 2 A_2 A2 是一个 ( m − 1 × n − 1 ) (m-1\times n-1) (m1×n1)的矩阵

若同时对 A 2 A_2 A2矩阵进行操作可以得到一个上三角矩阵 ( m = n ) (m=n) (m=n),即 P A = T PA=T PA=T,其中 P P P矩阵为elementary reflector矩阵的乘积, T T T矩阵为上梯形

image-20231116091638599

image-20231116091656605

Givens 旋转

image-20231115234630004

对于正交矩阵 P P P形式如上,表示在平面 ( i , j ) (i,j) (i,j)上旋转,其中 s 2 + c 2 = 1 s^2+c^2=1 s2+c2=1

对于向量 X = { x 1 , x 2 … , x n } T X=\{x_1,x_2\dots,x_n\}^T X={x1,x2,xn}T P i j X = { x 1 , x 2 , … , c x i + s x j , … , − s x i + c x j , … , x n } T P_{ij}X=\{x_1,x_2,\dots,cx_i+sx_j,\dots,-sx_i+cx_j,\dots,x_n\}^T PijX={x1,x2,,cxi+sxj,,sxi+cxj,,xn}T,易知旋转矩阵乘某一个向量,其只有在该旋转平面上的值发生改变,若存在:
c = x i x i 2 + x j 2 , s = x j x i 2 + x j 2 c=\frac{x_i}{\sqrt{x_i^2+x_j^2}},s=\frac{x_j}{\sqrt{x_i^2+x_j^2}} c=xi2+xj2 xi,s=xi2+xj2 xj
P i j X = { x 1 , x 2 , … , x i 2 + x j 2 , … , 0 , … , x n } T P_{ij}X=\{x_1,x_2,\dots,\sqrt{x_i^2+x_j^2},\dots,0,\dots,x_n\}^T PijX={x1,x2,,xi2+xj2 ,,0,,xn}T

由此可以实现消去向量的第j个值,即存在:
P 12 x = ( x 1 2 + x 2 2 0 x 3 x 4 ⋮ x n ) , P 13 P 12 x = ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 0 x 4 ⋮ x n ) , … , P 1 n ⋯ P 13 P 12 x = ( ∥ x ∥ 0 0 ⋮ 0 ) . \mathbf P_{12}\mathbf x=\begin{pmatrix}\sqrt{x_1^2+x_2^2}\\0\\x_3\\x_4\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},~\mathbf P_{13}\mathbf P_{12}\mathbf x=\begin{pmatrix}\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\\0\\x_4\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},~\ldots,~\mathbf P_{1n}\cdots\mathbf P_{13}\mathbf P_{12}\mathbf x=\begin{pmatrix}\|\mathbf x\|\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}. P12x= x12+x22 0x3x4xn , P13P12x= x12+x22+x32 0x4xn , , P1nP13P12x= x000 .

A A A矩阵是非奇异矩阵,则可以利用householder、givens以及Gram-schmidt来产生一个正交矩阵 Q Q Q以及一个上三角矩阵 R R R其对角线上全为正数,可以得到形如 A = Q R A=QR A=QR的形式

相关文章:

矩阵的QR分解

矩阵的QR分解 GramSchmidt 设存在 B { x 1 , x 2 , … , x n } \mathcal{B}\left\{\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\ldots,\mathbf{x}_{n}\right\} B{x1​,x2​,…,xn​}在施密特正交化过程中 q 1 x 1 ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ q_1\frac{x_1}{||x_1||} q1​∣∣x1​∣∣x1​​ q k …...

STL总结

STL vector 头文件<vector> 初始化,定义,定义长度&#xff0c;定义长度并且赋值&#xff0c;从数组中获取数据返回元素个数size()判断是否为空empty()返回第一个元素front()返回最后一个数back()删除最后一个数pop_back()插入push_back(x)清空clear()begin()end()使用s…...

资深测试总结,现在软件测试有未来吗?“你“的底气在哪里?

目录&#xff1a;导读 前言一、Python编程入门到精通二、接口自动化项目实战三、Web自动化项目实战四、App自动化项目实战五、一线大厂简历六、测试开发DevOps体系七、常用自动化测试工具八、JMeter性能测试九、总结&#xff08;尾部小惊喜&#xff09; 前言 1、为什么会有 “…...

Scalable Exact Inference in Multi-Output Gaussian Processes

Orthogonal Instantaneous Linear Mixing Model TY are m-dimensional summaries&#xff0c;ILMM means ‘Instantaneous Linear Mixing Model’&#xff0c;OILMM means ‘Orthogonal Instantaneous Linear Mixing Model’ 辅助信息 作者未提供代码...

sqli-labs(Less-3)

1. 通过构造id1’ 和id1’) 和id1’)–确定存在注入 可知原始url为 id(‘1’) 2.使用order by 语句猜字段数 http://127.0.0.1/sqlilabs/Less-3/?id1) order by 4 -- http://127.0.0.1/sqlilabs/Less-3/?id1) order by 3 --3. 使用联合查询union select http://127.0.0.1…...

集合框架面试题

一、集合容器的概述 1. 什么是集合 集合框架&#xff1a;用于存储数据的容器。 集合框架是为表示和操作集合而规定的一种统一的标准的体系结构。 任何集合框架都包含三大块内容&#xff1a; 对外的接口、接口的实现和对集合运算的算 法。 接口&#xff1a;表示集合的抽象数据…...

【LeetCode刷题日志】225.用队列实现栈

&#x1f388;个人主页&#xff1a;库库的里昂 &#x1f390;C/C领域新星创作者 &#x1f389;欢迎 &#x1f44d;点赞✍评论⭐收藏✨收录专栏&#xff1a;LeetCode 刷题日志&#x1f91d;希望作者的文章能对你有所帮助&#xff0c;有不足的地方请在评论区留言指正&#xff0c;…...

【JavaScript】fetch 处理流式数据,实现类 chatgpt 对话

本文只包含最基础的请求后端大佬给得对话接口&#xff0c;大部分模型的传参是差不多的&#xff0c;核心还是如何处理 fetch 获取的流数据 import { defineStore } from pinia; import { ElMessage } from element-plus;type Role system | user | assistant; export interfac…...

收发电子邮件

电子邮件是Internet提供的又一个重要服务项目。早在1987年9月20日&#xff0c;中国首封电子邮件就是从北京经意大利向前联邦德国卡尔斯鲁厄大学发出的&#xff0c;在中国首次实现了与Internet的连接&#xff0c;使中国成为国际互联网大家庭中的一员。现在随着Internet的迅速发展…...

sql13(Leetcode570至少有5名直接下属的经理)

代码&#xff1a; 脑子记不住 语法全靠试.. # Write your MySQL query statement below select b.name from (select managerId,count(managerId) as numfrom Employeegroup by managerId ) a left join Employee b on a.managerIdb.id where a.num>5 and b.name is not N…...

15分钟,不,用模板做数据可视化只需5分钟

测试显示&#xff0c;一个对奥威BI软件不太熟悉的人来开发数据可视化报表&#xff0c;要15分钟&#xff0c;而当这个人去套用数据可视化模板做报表&#xff0c;只需5分钟&#xff01; 数据可视化模板是奥威BI上的一个特色功能板块。用户下载后更新数据源&#xff0c;立即就能获…...

C 语言字符串函数

C 语言字符串函数 在本文中&#xff0c;您将学习使用诸如gets()&#xff0c;puts&#xff0c;strlen()等库函数在C中操作字符串。您将学习从用户那里获取字符串并对该字符串执行操作。 您通常需要根据问题的需要来操作字符串。大多数字符串操作都可以自定义方法完成&#xff…...

nvm安装详细教程(卸载旧的nodejs,安装nvm、node、npm、cnpm、yarn及环境变量配置)

文章目录 一、完全卸载旧的nodejs1、打开系统的控制面板&#xff0c;点击卸载程序&#xff0c;卸载nodejs&#xff08;1&#xff09;打开系统的控制面板&#xff0c;点击程序下的卸载程序&#xff08;2&#xff09;找到node.js&#xff0c;鼠标右击出现下拉框&#xff0c;点卸载…...

详细步骤记录:持续集成Jenkins自动化部署一个Maven项目

Jenkins自动化部署 提示&#xff1a;本教程基于CentOS Linux 7系统下进行 Jenkins的安装 1. 下载安装jdk11 官网下载地址&#xff1a;https://www.oracle.com/cn/java/technologies/javase/jdk11-archive-downloads.html 本文档教程选择的是jdk-11.0.20_linux-x64_bin.tar.g…...

Python学习(一)基础语法

文章目录 1. 入门1.1 解释器的作用1.2 下载1.3 基础语法输入输出语法与引号注释&#xff1a;变量&#xff1a; 数据类型与四则运算数据类型四则运算数据类型的查看type()数据类型的转换int()、int()、float() 流程控制格式化输出循环与遍历逻辑运算符list遍历字典dict遍历 跳出…...

【C刷题】day7

&#x1f3a5; 个人主页&#xff1a;深鱼~&#x1f525;收录专栏&#xff1a;【C】每日一练&#x1f304;欢迎 &#x1f44d;点赞✍评论⭐收藏 一、选择题 1、以下对C语言函数的有关描述中&#xff0c;正确的有【多选】&#xff08; &#xff09; A: 在C语言中&#xff0c;一…...

数据挖掘复盘——apriori

read_csv函数返回的数据类型是Dataframe类型 对于Dataframe类型使用条件表达式 dfdf.loc[df.loc[:,0]2]df: 这是一个DataFrame对象的变量名&#xff0c;表示一个二维的表格型数据结构&#xff0c;类似于电子表格或SQL表。 df.loc[:, 0]: 这是使用DataFrame的.loc属性来进行…...

Windows10下Maven3.9.5安装教程

文章目录 1.下载maven2.安装3.配置系统变量3.1.新建系统变量 MAVEN_HOME3.2.编辑系统变量Path 4.CMD命令测试是否安装成功5.配置maven本地仓库6.配置国内镜像仓库 1.下载maven 官网 https://maven.apache.org/download.cgi 点击下载。 2.安装 解压到指定目录 D:\installSoft…...

【开源】基于JAVA的校园失物招领管理系统

项目编号&#xff1a; S 006 &#xff0c;文末获取源码。 \color{red}{项目编号&#xff1a;S006&#xff0c;文末获取源码。} 项目编号&#xff1a;S006&#xff0c;文末获取源码。 目录 一、摘要1.1 项目介绍1.2 项目录屏 二、研究内容2.1 招领管理模块2.2 寻物管理模块2.3 系…...

requests爬虫IP连接初始化问题及解决方案

问题背景 在使用HTTPS爬虫IP连接时&#xff0c;如果第一次请求是chunked方式&#xff0c;那么HTTPS爬虫IP连接将不会被初始化。这个问题可能会导致403错误&#xff0c;或者在使用HTTPS爬虫IP时出现SSL错误。 解决方案 为了解决这个问题&#xff0c;我们可以在requests库的ada…...

零门槛NAS搭建:WinNAS如何让普通电脑秒变私有云?

一、核心优势&#xff1a;专为Windows用户设计的极简NAS WinNAS由深圳耘想存储科技开发&#xff0c;是一款收费低廉但功能全面的Windows NAS工具&#xff0c;主打“无学习成本部署” 。与其他NAS软件相比&#xff0c;其优势在于&#xff1a; 无需硬件改造&#xff1a;将任意W…...

云启出海,智联未来|阿里云网络「企业出海」系列客户沙龙上海站圆满落地

借阿里云中企出海大会的东风&#xff0c;以**「云启出海&#xff0c;智联未来&#xff5c;打造安全可靠的出海云网络引擎」为主题的阿里云企业出海客户沙龙云网络&安全专场于5.28日下午在上海顺利举办&#xff0c;现场吸引了来自携程、小红书、米哈游、哔哩哔哩、波克城市、…...

【位运算】消失的两个数字(hard)

消失的两个数字&#xff08;hard&#xff09; 题⽬描述&#xff1a;解法&#xff08;位运算&#xff09;&#xff1a;Java 算法代码&#xff1a;更简便代码 题⽬链接&#xff1a;⾯试题 17.19. 消失的两个数字 题⽬描述&#xff1a; 给定⼀个数组&#xff0c;包含从 1 到 N 所有…...

Nuxt.js 中的路由配置详解

Nuxt.js 通过其内置的路由系统简化了应用的路由配置&#xff0c;使得开发者可以轻松地管理页面导航和 URL 结构。路由配置主要涉及页面组件的组织、动态路由的设置以及路由元信息的配置。 自动路由生成 Nuxt.js 会根据 pages 目录下的文件结构自动生成路由配置。每个文件都会对…...

苍穹外卖--缓存菜品

1.问题说明 用户端小程序展示的菜品数据都是通过查询数据库获得&#xff0c;如果用户端访问量比较大&#xff0c;数据库访问压力随之增大 2.实现思路 通过Redis来缓存菜品数据&#xff0c;减少数据库查询操作。 缓存逻辑分析&#xff1a; ①每个分类下的菜品保持一份缓存数据…...

2025 后端自学UNIAPP【项目实战:旅游项目】6、我的收藏页面

代码框架视图 1、先添加一个获取收藏景点的列表请求 【在文件my_api.js文件中添加】 // 引入公共的请求封装 import http from ./my_http.js// 登录接口&#xff08;适配服务端返回 Token&#xff09; export const login async (code, avatar) > {const res await http…...

论文浅尝 | 基于判别指令微调生成式大语言模型的知识图谱补全方法(ISWC2024)

笔记整理&#xff1a;刘治强&#xff0c;浙江大学硕士生&#xff0c;研究方向为知识图谱表示学习&#xff0c;大语言模型 论文链接&#xff1a;http://arxiv.org/abs/2407.16127 发表会议&#xff1a;ISWC 2024 1. 动机 传统的知识图谱补全&#xff08;KGC&#xff09;模型通过…...

基于Docker Compose部署Java微服务项目

一. 创建根项目 根项目&#xff08;父项目&#xff09;主要用于依赖管理 一些需要注意的点&#xff1a; 打包方式需要为 pom<modules>里需要注册子模块不要引入maven的打包插件&#xff0c;否则打包时会出问题 <?xml version"1.0" encoding"UTF-8…...

从零实现STL哈希容器:unordered_map/unordered_set封装详解

本篇文章是对C学习的STL哈希容器自主实现部分的学习分享 希望也能为你带来些帮助~ 那咱们废话不多说&#xff0c;直接开始吧&#xff01; 一、源码结构分析 1. SGISTL30实现剖析 // hash_set核心结构 template <class Value, class HashFcn, ...> class hash_set {ty…...

NLP学习路线图(二十三):长短期记忆网络(LSTM)

在自然语言处理(NLP)领域,我们时刻面临着处理序列数据的核心挑战。无论是理解句子的结构、分析文本的情感,还是实现语言的翻译,都需要模型能够捕捉词语之间依时序产生的复杂依赖关系。传统的神经网络结构在处理这种序列依赖时显得力不从心,而循环神经网络(RNN) 曾被视为…...