【C++进阶之路】第五篇：哈希

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一、unordered系列关联式容器

在C++98中，STL提供了底层为红黑树结构的一系列关联式容器，在查询时效率可达到$lo{g}_{2}N$，即最差情况下需要比较红黑树的高度次，当树中的节点非常多时，查询效率也不理想。最好的查询是，进行很少的比较次数就能够将元素找到，因此在C++11中，STL又提供了4个unordered系列的关联式容器，这四个容器与红黑树结构的关联式容器使用方式基本类似，只是其底层结构不同，本文中只对unordered_map和unordered_set进行介绍，unordered_multimap和unordered_multiset可查看文档介绍。

ordered - 有序的，unordered - 无序的。

1.unordered_map

（1）unordered_map的介绍

unordered_map文档

1. unordered_map是存储<key, value>键值对的关联式容器，其允许通过keys快速的索引到与其对应的value。

2. 在unordered_map中，键值通常用于惟一地标识元素，而映射值是一个对象，其内容与此键关联。键和映射值的类型可能不同。

3. 在内部,unordered_map没有对<kye, value>按照任何特定的顺序排序, 为了能在常数范围内找到key所对应的value，unordered_map将相同哈希值的键值对放在相同的桶中。

4. unordered_map容器通过key访问单个元素要比map快，但它通常在遍历元素子集的范围迭代方面效率较低。

5. unordered_maps实现了直接访问操作符(operator[])，它允许使用key作为参数直接访问value。

6. 它的迭代器至少是前向迭代器。

（2）unordered_map的接口说明

• unordered_map的构造
• unordered_map的容量
• unordered_map的迭代器（只支持单项迭代器）
• unordered_map的元素访问
• unordered_map的查询
• unordered_map的修改操作
• unordered_map的桶操作

略（可自行查看文档）

2. unordered_set

参见文档：unordered_set在线文档说明

3.性能对比

• 代码示例

#include<iostream>
#include<unordered_set>
#include<unordered_map>
#include <map>
#include <set>
#include<string>
using namespace std;#include <time.h>int main()
{const size_t N = 1000000;unordered_set<int> us;set<int> s;vector<int> v;v.reserve(N);	//申请空间srand(time(0));	//随机值for (size_t i = 0; i < N; ++i){//v.push_back(rand());//v.push_back(rand()+i);v.push_back(i);}size_t begin1 = clock();for (auto e : v){s.insert(e);}size_t end1 = clock();cout << "set insert:" << end1 - begin1 << endl;	size_t begin2 = clock();for (auto e : v){us.insert(e);}size_t end2 = clock();cout << "unordered_set insert:" << end2 - begin2 << endl; size_t begin3 = clock();for (auto e : v){s.find(e);}size_t end3 = clock();cout << "set find:" << end3 - begin3 << endl;size_t begin4 = clock();for (auto e : v){us.find(e);}size_t end4 = clock();cout << "unordered_set find:" << end4 - begin4 << endl; //对比可以发现unordered_set的find更快cout << s.size() << endl;cout << us.size() << endl;size_t begin5 = clock();for (auto e : v){s.erase(e);}size_t end5 = clock();cout << "set erase:" << end5 - begin5 << endl;size_t begin6 = clock();for (auto e : v){us.erase(e);}size_t end6 = clock();cout << "unordered_set erase:" << end6 - begin6 << endl;return 0;
}

• 结果示例

总结：unordered系列容器在 insert、erase上无明显优势，但是在查找（find）方面相较于原来的容器，性能大大提高。

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二、底层结构

unordered系列的关联式容器之所以效率比较高，是因为其底层使用了哈希结构。

1.哈希概念

顺序结构以及平衡树中，元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系，因此在查找一个元素时，必须要经过关键码的多次比较。顺序查找时间复杂度为O(N)，平衡树中为树的高度，即O($lo{g}_{2}N$)，搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。

理想的搜索方法：可以不经过任何比较，一次直接从表中得到要搜索的元素。如果构造一种存储结构，通过某种函数(hashFunc)使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一一映射的关系，那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素（哈希映射：key值跟储存位置建立关联关系）。

当向该结构中：

• 插入元素

根据待插入元素的关键码，以此函数计算出该元素的存储位置并按此位置进行存放。

• 搜索元素

对元素的关键码进行同样的计算，把求得的函数值当做元素的存储位置，在结构中按此位置取元素比较，若关键码相等，则搜索成功。

该方式即为哈希(散列)方法，哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)函数，构造出来的结构称为哈希表(Hash Table)(或者称散列表)。

例如：数据集合{1，7，6，4，5，9}；
哈希函数设置为：hash(key) = key % capacity; capacity为存储元素底层空间总的大小。

用该方法进行搜索不必进行多次关键码的比较，因此搜索的速度比较快。

问题：按照上述哈希方式，向集合中插入元素44，会出现什么问题？这就涉及到哈希冲突的问题了。

2.哈希冲突

对于两个数据元素的关键字$k_i$和 $k_j$(i != j)，有$k_i$ != $k_j$，但有：Hash($k_i$) == Hash($k_j$)，即：不同关键字通过相同哈希哈数计算出相同的哈希地址，该种现象称为哈希冲突或哈希碰撞。

把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为“同义词”。

发生哈希冲突该如何处理呢？

3.哈希函数

引起哈希冲突的一个原因可能是：哈希函数设计不够合理。

哈希函数设计原则：

• 哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码，而如果散列表允许有m个地址时，其值域必须在0到m-1之间
• 哈希函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间中
• 哈希函数应该比较简单

常见哈希函数

1. 直接定址法–(常用)
   取关键字的某个线性函数为散列地址：Hash（Key）= A*Key + B
   优点：简单、均匀
   缺点：需要事先知道关键字的分布情况
   使用场景：适合查找比较小且连续的情况
2. 除留余数法–(常用)
   设散列表中允许的地址数为m，取一个不大于m，但最接近或者等于m的质数p作为除数，
   按照哈希函数：Hash(key) = key% p(p<=m),将关键码转换成哈希地址

注意：哈希函数设计的越精妙，产生哈希冲突的可能性就越低，但是无法避免哈希冲突

4.哈希冲突解决

解决哈希冲突两种常见的方法是：闭散列和开散列

（1）闭散列（开放地址法）

闭散列：也叫开放定址法，当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，说明在哈希表中必然还有空位置，那么可以把key存放到冲突位置中的“下一个” 空位置中去。那如何寻找下一个空位置呢？

1.线性探测

比如2.1中的场景，现在需要插入元素44，先通过哈希函数计算哈希地址，hashAddr为4，因此44理论上应该插在该位置，但是该位置已经放了值为4的元素，即发生哈希冲突。

线性探测：从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。

• 插入
  • 通过哈希函数获取待插入元素在哈希表中的位置
  • 如果该位置中没有元素则直接插入新元素，如果该位置中有元素发生哈希冲突，使用线性探测找到下一个空位置，插入新元素

• 删除
  • 采用闭散列处理哈希冲突时，不能随便物理删除哈希表中已有的元素，若直接删除元素会影响其他元素的搜索。
  • 比如删除元素4，如果直接删除掉，44查找起来可能会受影响。因此线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素。

// 哈希表每个空间给个标记
// EMPTY此位置空， EXIST此位置已经有元素， DELETE元素已经删除
enum State{EMPTY, EXIST, DELETE};

• 线性探测的实现

// 注意：假如实现的哈希表中元素唯一，即key相同的元素不再进行插入
// 为了实现简单，此哈希表中我们将比较直接与元素绑定在一起
template<class K, class V>
class HashTable
{struct Elem{pair<K, V> _val;State _state;};public:HashTable(size_t capacity = 3): _ht(capacity), _size(0){for (size_t i = 0; i < capacity; ++i)_ht[i]._state = EMPTY;}bool Insert(const pair<K, V>& val){// 检测哈希表底层空间是否充足// _CheckCapacity();size_t hashAddr = HashFunc(key);// size_t startAddr = hashAddr;while (_ht[hashAddr]._state != EMPTY){if (_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first== key)return false;hashAddr++;if (hashAddr == _ht.capacity())hashAddr = 0;/*// 转一圈也没有找到，注意：动态哈希表，该种情况可以不用考虑，哈希表中元素个数到达一定的数量，哈希冲突概率会增大，需要扩容来降低哈希冲突，因此哈希表中元素是不会存满的if(hashAddr == startAddr)return false;*/}// 插入元素_ht[hashAddr]._state = EXIST;_ht[hashAddr]._val = val;_size++;return true;}int Find(const K& key){size_t hashAddr = HashFunc(key);while (_ht[hashAddr]._state != EMPTY){if (_ht[hashAddr]._state == EXIST && _ht[hashAddr]._val.first== key)return hashAddr;hashAddr++;}return hashAddr;}bool Erase(const K & key){int index = Find(key);if (-1 != index){_ht[index]._state = DELETE;_size++;return true;}return false;}size_t Size()const;bool Empty() const;void Swap(HashTable<K, V, HF>&ht);
private:size_t HashFunc(const K & key){return key % _ht.capacity();}
private:vector<Elem> _ht;size_t _size;
};

• 思考：哈希表什么情况下进行扩容？如何扩容？

void CheckCapacity()
{if (_size * 10 / _ht.capacity() >= 7){HashTable<K, V, HF> newHt(GetNextPrime(ht.capacity));for (size_t i = 0; i < _ht.capacity(); ++i){if (_ht[i]._state == EXIST)newHt.Insert(_ht[i]._val);}Swap(newHt);}
}

负载因子越小，冲突概率越小，消耗空间越多。负载因子越大，冲突概率越大，空间利用率越高。

线性探测优点：实现非常简单。

线性探测缺点：一旦发生哈希冲突，所有的冲突连在一起，容易产生数据“堆积”，即：不同关键码占据了可利用的空位置（插入的数据占据了别的数据关键码对应的空间），使得寻找某关键码的位置需要许多次比较，导致搜索效率降低。如何缓解呢？

2.二次探测

线性探测的缺陷是产生冲突的数据堆积在一块，这与其找下一个空位置有关系，因为找空位置的方式o就是挨着往后逐个去找，因此二次探测为了避免该问题，找下一个空位置的方法为：$H_i$ = ($H_0$ + $i^2$ )% m, 或者：$H_i$ = ($H_0$ - $i^2$ )% m。其中：i = 1,2,3…， $H_0$是通过散列函数Hash(x)对元素的关键码 key 进行计算得到的位置，m是表的大小。

我们可以将其理解为跳跃式查找空余位置的方法。

研究表明：当表的长度为质数且表装载因子a不超过0.5时，新的表项一定能够插入，而且任何一个位置都不会被探查两次。因此只要表中有一半的空位置，就不会存在表满的问题。在搜索时可以不考虑表装满的情况，但在插入时必须确保表的装载因子a不超过0.5，如果超出必须考虑增容。

因此：比散列最大的缺陷就是空间利用率比较低，这也是哈希的缺陷。

（2）开散列（哈希桶/开链法 - 常用）

1.开散列概念

开散列法又叫链地址法(开链法)，首先对关键码集合用散列函数计算散列地址，具有相同地址的关键码归于同一子集合，每一个子集合称为一个桶，各个桶中的元素通过一个单链表链接起来，各链表的头结点存储在哈希表中。

将 44插入到容器中

从上图可以看出，开散列中每个桶中放的都是发生哈希冲突的元素。

2.开散列实现

template<class V>
struct HashBucketNode
{HashBucketNode(const V& data): _pNext(nullptr), _data(data){}HashBucketNode<V>* _pNext;V _data;
};// 本文所实现的哈希桶中key是唯一的
template<class V>
class HashBucket
{typedef HashBucketNode<V> Node;typedef Node* PNode;
public:HashBucket(size_t capacity = 3) : _size(0){_ht.resize(GetNextPrime(capacity), nullptr);}// 哈希桶中的元素不能重复PNode* Insert(const V& data){// 确认是否需要扩容。。。// _CheckCapacity();// 1. 计算元素所在的桶号size_t bucketNo = HashFunc(data);// 2. 检测该元素是否在桶中PNode pCur = _ht[bucketNo];while (pCur){if (pCur->_data == data)return pCur;pCur = pCur->_pNext;}// 3. 插入新元素pCur = new Node(data);pCur->_pNext = _ht[bucketNo];_ht[bucketNo] = pCur;_size++;return pCur;}// 删除哈希桶中为data的元素(data不会重复)，返回删除元素的下一个节点PNode* Erase(const V& data){size_t bucketNo = HashFunc(data);PNode pCur = _ht[bucketNo];PNode pPrev = nullptr, pRet = nullptr;while (pCur){if (pCur->_data == data){if (pCur == _ht[bucketNo])_ht[bucketNo] = pCur->_pNext;elsepPrev->_pNext = pCur->_pNext;pRet = pCur->_pNext;delete pCur;_size--;return pRet;}}return nullptr;}PNode* Find(const V& data);size_t Size()const;bool Empty()const;void Clear();bool BucketCount()const;void Swap(HashBucket<V, HF>& ht;~HashBucket();
private:size_t HashFunc(const V& data){return data % _ht.capacity();}
private:vector<PNode*> _ht;size_t _size;      // 哈希表中有效元素的个数
};

3.开散列增容

桶的个数是一定的，随着元素的不断插入，每个桶中元素的个数不断增多，极端情况下，可能会导致一个桶中链表节点非常多，会影响的哈希表的性能，因此在一定条件下需要对哈希表进行增容，那该条件怎么确认呢？开散列最好的情况是：每个哈希桶中刚好挂一个节点，再继续插入元素时，每一次都会发生哈希冲突，因此，在元素个数刚好等于桶的个数时，可以给哈希表增容。

void _CheckCapacity()
{size_t bucketCount = BucketCount();if (_size == bucketCount){HashBucket<V, HF> newHt(bucketCount);for (size_t bucketIdx = 0; bucketIdx < bucketCount; ++bucketIdx){PNode pCur = _ht[bucketIdx];while (pCur){// 将该节点从原哈希表中拆出来_ht[bucketIdx] = pCur->_pNext;// 将该节点插入到新哈希表中size_t bucketNo = newHt.HashFunc(pCur->_data);pCur->_pNext = newHt._ht[bucketNo];newHt._ht[bucketNo] = pCur;pCur = _ht[bucketIdx];}}newHt._size = _size;this->Swap(newHt);}
}

4.开散列的思考

• 只能存储key为整形的元素，其他类型怎么解决？

// 哈希函数采用处理余数法，被模的key必须要为整形才可以处理，此处提供将key转化为
整形的方法
// 整形数据不需要转化
template<class T>
class DefHashF
{
public:size_t operator()(const T& val){return val;}
};// key为字符串类型，需要将其转化为整形
class Str2Int
{
public:size_t operator()(const string& s){const char* str = s.c_str();unsigned int seed = 131; // 31 131 1313 13131 131313unsigned int hash = 0;while (*str){hash = hash * seed + (*str++);}return (hash & 0x7FFFFFFF);}
};// 为了实现简单，此哈希表中我们将比较直接与元素绑定在一起
template<class V, class HF>
class HashBucket
{// ……
private:size_t HashFunc(const V& data){return HF()(data.first) % _ht.capacity();}
};

• 除留余数法，最好模一个素数，如何每次快速取一个类似两倍关系的素数？

略（有固定的prime语法）

5.开散列与闭散列比较

应用链地址法处理溢出，需要增设链接指针，似乎增加了存储开销。事实上：由于开地址法必须保持大量的空闲空间以确保搜索效率，如二次探查法要求装载因子a <= 0.7，而表项所占空间又比指针大的多，所以使用链地址法反而比开地址法节省存储空间。

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三、模拟实现

略

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四、哈希的应用

1.位图

（1）位图概念

1.面试题

给40亿个不重复的无符号整数，没排过序。给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在
这40亿个数中。【腾讯】

1. 遍历，时间复杂度O(N)

2. 排序(O(NlogN))，利用二分查找: logN

3. 位图解决

   • 数据是否在给定的整形数据中，结果是在或者不在，刚好是两种状态，那么可以使用一个二进制比特位来代表数据是否存在的信息，如果二进制比特位为1，代表存在，为0代表不存在。比如：

   • 图一：

     

2.位图概念

所谓位图，就是用每一位来存放某种状态，适用于海量数据，数据无重复的场景。通常是用来判断某个数据存不存在的。

（2）位图的实现

namespace Bitmap
{template<size_t N>class Bitmapset{public:bitset(){//_bits.resize(N/8+1, 0);_bits.resize((N >> 3) + 1, 0);}// 将x比特位置1void set(size_t x){//size_t i = x / 8;size_t i = x >> 3;size_t j = x % 8;_bits[i] |= (1 << j);}// 将x比特位置0void reset(size_t x){size_t i = x >> 3;size_t j = x % 8;_bits[i] &= (~(1 << j));}// 检测位图中x是否为1bool test(size_t x){size_t i = x >> 3;size_t j = x % 8;return _bits[i] & (1 << j);}private:vector<char> _bits;};void test_bitset(){//bitset<100> bs1;//bitset<-1> bs2;bitset<0xffffffff> bs2;bs2.set(10);bs2.set(10000);bs2.set(8888);cout << bs2.test(10) << endl;cout << bs2.test(10000) << endl;cout << bs2.test(8888) << endl;cout << bs2.test(8887) << endl;cout << bs2.test(9999) << endl << endl;bs2.reset(8888);bs2.set(8887);cout << bs2.test(10) << endl;cout << bs2.test(10000) << endl;cout << bs2.test(8888) << endl;cout << bs2.test(8887) << endl;cout << bs2.test(9999) << endl;}}

（3）位图的应用

1. 快速查找某个数据是否在一个集合中
2. 排序 + 去重
3. 求两个集合的交集、并集等
4. 操作系统中磁盘块标记

2.布隆过滤器

（1）布隆过滤器的提出

我们在使用新闻客户端看新闻时，它会给我们不停地推荐新的内容，它每次推荐时要去重，去掉那些已经看过的内容。问题来了，新闻客户端推荐系统如何实现推送去重的？ 用服务器记录了用户看过的所有历史记录，当推荐系统推荐新闻时会从每个用户的历史记录里进行筛选，过滤掉那些已经存在的记录。 如何快速查找呢？

1. 用哈希表存储用户记录，缺点：浪费空间

2. 用位图存储用户记录，缺点：位图一般只能处理整形，如果内容编号是字符串，就无法处理了。

3. 将哈希与位图结合，即布隆过滤器

（2）布隆过滤器概念

布隆过滤器是由布隆（Burton Howard Bloom）在1970年提出的 一种紧凑型的、比较巧妙的概率型数据结构，特点是高效地插入和查询，可以用来告诉你 “某样东西一定不存在或者可能存在”，它是用多个哈希函数，将一个数据映射到位图结构中。此种方式不仅可以提升查询效率，也可以节省大量的内存空间。

（3）布隆函数的插入

• 向布隆过滤器中插入：“baidu”，将一个元素用多个哈希函数转成一个整形映射到一个位图中，被映射到的位置的比特位由0修改为1

struct BKDRHash
{size_t operator()(const string& s){// BKDRsize_t value = 0;for (auto ch : s){value *= 31;value += ch;}return value;}
};struct APHash
{size_t operator()(const string& s){size_t hash = 0;for (long i = 0; i < s.size(); i++){if ((i & 1) == 0){hash ^= ((hash << 7) ^ s[i] ^ (hash >> 3));}else{hash ^= (~((hash << 11) ^ s[i] ^ (hash >> 5)));}}return hash;}
};struct DJBHash
{size_t operator()(const string& s){size_t hash = 5381;for (auto ch : s){hash += (hash << 5) + ch;}return hash;}
};template<size_t N,size_t X = 5,class K = string,class HashFunc1 = BKDRHash,class HashFunc2 = APHash,class HashFunc3 = DJBHash>class BloomFilter
{
public:void Set(const K& key){size_t len = X * N;size_t index1 = HashFunc1()(key) % len;size_t index2 = HashFunc2()(key) % len;size_t index3 = HashFunc3()(key) % len;/* cout << index1 << endl;cout << index2 << endl;cout << index3 << endl<<endl;*/_bs.set(index1);_bs.set(index2);_bs.set(index3);}bool Test(const K& key){size_t len = X * N;size_t index1 = HashFunc1()(key) % len;if (_bs.test(index1) == false)return false;size_t index2 = HashFunc2()(key) % len;if (_bs.test(index2) == false)return false;size_t index3 = HashFunc3()(key) % len;if (_bs.test(index3) == false)return false;return true;  // 存在误判的}// 不支持删除，删除可能会影响其他值。void Reset(const K& key);private:bitset<X* N> _bs;
};

（4）布隆过滤器的查找（重点）

布隆过滤器的思想是将一个元素用多个哈希函数映射到一个位图中，因此被映射到的位置的比特位一定为1**。所以可以按照以下方式进行查找：分别计算每个哈希值对应的比特位置存储的是否为零，只要有一个为零，代表该元素一定不在哈希表中，否则可能在哈希表中。

注意：布隆过滤器如果说某个元素不存在时，该元素一定不存在，如果该元素存在时，该元素可能存在，因为有些哈希函数存在一定的误判。

比如：在布隆过滤器中查找"alibaba"时，假设3个哈希函数计算的哈希值为：1、3、7，刚好和其他元素的比特位重叠，此时布隆过滤器告诉该元素存在，但实该元素是不存在的。

（5）布隆过滤器的删除

布隆过滤器不能直接支持删除工作，因为在删除一个元素时，可能会影响其他元素。

比如：删除上图中"tencent"元素，如果直接将该元素所对应的二进制比特位置0，“baidu”元素也被删除了，因为这两个元素在多个哈希函数计算出的比特位上刚好有重叠。

一种支持删除的方法：将布隆过滤器中的每个比特位扩展成一个小的计数器，插入元素时给k个计数器(k个哈希函数计算出的哈希地址)加一，删除元素时，给k个计数器减一，通过多占用几倍存储空间的代价来增加删除操作。

缺陷：

1. 无法确认元素是否真正在布隆过滤器中
2. 存在计数回绕

（6）布隆过滤器的优点

1. 增加和查询元素的时间复杂度为:O(K), (K为哈希函数的个数，一般比较小)，与数据量大小无关

2. 哈希函数相互之间没有关系，方便硬件并行运算

3. 布隆过滤器不需要存储元素本身，在某些对保密要求比较严格的场合有很大优势

4. 在能够承受一定的误判时，布隆过滤器比其他数据结构有这很大的空间优势

5. 数据量很大时，布隆过滤器可以表示全集，其他数据结构不能

6. 使用同一组散列函数的布隆过滤器可以进行交、并、差运算

（7）布隆过滤器的缺陷

1. 有误判率，即存在假阳性(False Position)，即不能准确判断元素是否在集合中(补救方法：再建立一个白名单，存储可能会误判的数据)

2. 不能获取元素本身

3. 一般情况下不能从布隆过滤器中删除元素

4. 如果采用计数方式删除，可能会存在计数回绕问题

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五、海量数据面试题

1.哈希切割

（1）给一个超过100G大小的log file, log中存着IP地址, 设计算法找到出现次数最多的IP地址？

思路：将大文件通过哈希切割成小文件，此时同一个ip只会在同一个小文件中。找出1号小文件中出现次数最多的ip，将它拿出来和2、3…号出现最多的ip进行比较，最后将出现次数最多的ip返回

（2）与上题条件相同，如何找到top K的IP？如何直接用Linux系统命令实现？

思路：在上题的基础上再引入一个堆即可

2.位图应用

（1）给定100亿个整数，设计算法找到只出现一次的整数？

思路：可以开多个位图进行对应组合，我们可以用00，01，10来表示某个数没有出现、出现一次、出现一次以上，此时只需要创建三个位图并将它们对应起来即可。

（2）给两个文件，分别有100亿个整数，我们只有1G内存，如何找到两个文件交集？

思路：

（3）位图应用变形：1个文件有100亿个int，1G内存，设计算法找到出现次数不超过2次的所有整数

思路：设计一个位图，给对应的数据增加状态标识

3.布隆过滤器

（1）给两个文件，分别有100亿个query，我们只有1G内存，如何找到两个文件交集？分别给出精确算法和近似算法

思路：把其中一个文件放到布隆过滤器中，再用另一个文件去里面找一下，交集一定会在里面，也可能误判（近似算法）。对两个文件进行切割处理，再对比。

（2）如何扩展BloomFilter使得它支持删除元素的操作

一种支持删除的方法：将布隆过滤器中的每个比特位扩展成一个小的计数器，插入元素时给k个计数器(k个哈希函数计算出的哈希地址)加一，删除元素时，给k个计数器减一，通过多占用几倍存储空间的代价来增加删除操作。

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🌹🌹 哈希 的知识大概就讲到这里啦，博主后续会继续更新更多C++ 和 Linux的相关知识，干货满满，如果觉得博主写的还不错的话，希望各位小伙伴不要吝啬手中的三连哦！你们的支持是博主坚持创作的动力！💪💪