数理统计的基本概念（二）

抽样分布

所谓抽样分布是指统计量的概率分布。确定统计量的分布是数理统计学的基本问题之一。

几个重要分布

$\Gamma$ 分布

若随机变量 $X$ 具有概率密度 $$f(x;\alpha ,\lambda )=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$则称 $X$ 服从参数为 $\alpha 、\lambda$ 的 $\Gamma$ 分布，记为 $X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$，其中 $\alpha >0,\lambda >0$ 为参数。

$\Gamma$ 分布具有下列性质：

1. 若 $X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$，则 $E(X)=\alpha /\lambda ,D(x)=\alpha /{\lambda }^2.$
2. 可加性。若 $X_i\sim \Gamma ({\alpha }_i,\lambda ),i=1,...,n$，且 $X_1,...,X_n$ 相互独立，则 $$X_1+...+X_n\sim \Gamma ({\alpha }_1+...+{\alpha }_n,\lambda )$$
3. 在 $\Gamma$ 分布中取 $\alpha =1$，即得指数分布 $\text{Exp}(\lambda )$ $$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$ 由此可得性质 2 的一个推论：若 $X_1,...,X_n$ 为 $\text{i.i.d.}$，且 $X_1\sim \text{Exp}(\lambda )$，则 $$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \Gamma (n,\lambda )$$

$\beta$ 分布

若随机变量 $X$ 具有概率密度 $$f(x;a,b)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{a-1}(1-x{)}^{b-1}}{B(a,b)},& 0<x<1\\ 0,& 其他\end{array}$$则称 $X$ 服从参数为 $a、b$ 的 $\beta$ 分布，记为 $X\sim \beta (a,b)$，其中 $a>0,b>0$ 为参数，$B(a,b)$ 为 $\beta$ 函数。

$\beta$ 分布具有下列性质：

1. 若 $X\sim \beta (a,b)$，则 $$E(X)=\frac{a}{a+b},D(X)=\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}$$
2. 若 $X\sim \Gamma (a,1),Y\sim \Gamma (b,1)$，且 $X,Y$ 相互独立，则 $$Z=\frac{X}{X+Y}\sim \beta (a,b)$$

${\chi }^2$ 分布

若随机变量 $X$ 具有概率密度 $${\chi }^2(x;n)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{n/2-1}{e}^{-x/2}}{2^{n/2}\Gamma (n/2)},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$ 则称 $X$ 服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布，记为 $X\sim {\chi }^2(n)$。

${\chi }^2$ 分布具有下列性质：

1. 若 $X\sim {\chi }^2(n)$，则 $E(X)=n,D(X)=2n$
2. 可加性。若 $X_i\sim {\chi }^2(n_i),i=1,...,k$，且 $X_1,...,X_k$ 相互独立，则 $$X_1+...+X_n\sim {\chi }^2(n_1+...+n_k)$$

设随机变量 $X_1,...,X_n$ 相互独立，且都服从标准正态分布 $N(0,1)$，则随机变量 ${\chi }^2={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布。

$t$ 分布

$t$ 分布又称学生分布，随机变量 $T$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布记为 $T\sim t(n)$。

$t$ 分布的概率密度关于 $x=0$ 对称，并且当 $|x|\to +\infty$ 时单调下降地趋于 0，且当自由度 $n\to +\infty$ 时，自由度为 $n$ 的 $t$ 分布收敛于标准正态分布 $N(0,1)$。

若 $X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$，且 $X$ 与 $Y$相互独立，则 $$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$$

$F$ 分布

随机变量 $F$ 服从自由度为 $(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布记为 $F\sim F(n_1,n_2)$。

若 $X\sim {\chi }^2(n_1),Y\sim {\chi }^2(n_2)$，且 $X$ 与 $Y$相互独立，则 $$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}\sim F(n_1,n_2)$$

在上述定理的条件下，若 $F\sim F(n_1,n_2)$，则 $\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$。

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分位数

设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=P(X\le x)$，对于 $0<p<1$，若有 $x_p$ 满足 $$P(X\le x_p)=F(x_p)=p$$ 则称 $x_p$ 为分布 $F(x)$ （或随机变量 $X$）的下侧 $p$ 分位数；对于 $0<\alpha <1$，若有 $y_{\alpha }$ 满足 $$P(X>y_{\alpha })=1-F(y_{\alpha })=\alpha$$ 则称 $y_{\alpha }$ 为分布 $F(x)$ （或随机变量 $X$）的上侧 $\alpha$ 分位数。

由定义可知，$y_{\alpha }=x_{1-\alpha };x_p=y_{1-p}$。

1. 由 $N(0,1)$ 分布及 $t$ 分布的对称性可知 $$u_{1-\alpha }=-u_{\alpha },t_{1-\alpha }(n)=-t_{\alpha }(n)$$
2. $$F_{\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{1-\alpha }(n_2,n_1)}$$

参考文献

[1] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。