如何证明特征值的几何重数不超过代数重数

设 ${\lambda }_0$ 是 $A$ 的特征值，则 ${\lambda }_0$ 的代数重数 $\ge$ 几何重数

证明

假设 $A$ 的特征值 ${\lambda }_0$ 对应的特征向量有 q 维，记为 ${\alpha }_1,...,{\alpha }_q$，有
$$A{\alpha }_i={\lambda }_0{\alpha }_i,i=1,...,q$$
以它们作为 n 维向量空间的 $q$ 个基底向量，再扩充它们，将 n 维向量空间的整个基表示为 ${\alpha }_1,...,{\alpha }_q,...,{\alpha }_n$.

记矩阵 $B=[{\alpha }_1,...,{\alpha }_q,...{\alpha }_n]$ ，有 $B$ 可逆。

$$\begin{array}{rl}AB& =A\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1,..,{\alpha }_q,...,{\alpha }_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\lambda }_0{\alpha }_1,...,{\lambda }_0{\alpha }_q,...,A{\alpha }_n\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1,..,{\alpha }_q,...,{\alpha }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccccc}{\lambda }_0& \cdots & 0& \ast & \cdots & \ast \\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & {\lambda }_0& \ast & \cdots & \ast \\ 0& \cdots & 0& \ast & \cdots & \ast \\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 0& \ast & \cdots & \ast \end{array}\right]\\ AB& =B\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{0}E& A_{12}\\ \mathcal{O}& A_{22}\end{array}\right]\end{array}$$
又B可逆，则
$$B^{-1}AB=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{0}E& A_{12}\\ \mathcal{O}& A_{22}\end{array}\right]=C$$
即 $A$ 相似于 C

由此计算 $A$ 的特征多项式

$$|\lambda E-A|=|\lambda E-C|=\left|\begin{array}{cc}(\lambda -{\lambda }_0)E_q& -A_{12}\\ \mathcal{O}& \lambda E_{n-q}-A_{22}\end{array}\right|=|(\lambda -{\lambda }_0{)}^q|\lambda E_{n-q}-A_{22}|$$
由此可知该 $\lambda$ 的n次多项式方程至少有 q 个根为 ${\lambda }_0$，至于有没有更多的根为 ${\lambda }_0$，取决于后面的多项式 $|\lambda E_{n-q}-A_{22}|$ 是否出现 $(\lambda -{\lambda }_0)$。