数据结构-归并排序+计数排序

1.归并排序

基本思想：
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。 归并排序核心步骤：

相当于每次把待排数据分为两个子区间，如果每个子区间有序，再让两个子区间归并起来也有序，那整体就有序了。我们可以按照二叉树的思想，把子区间再分为两份，使子区间的子区间有序.......直到子区间分无可分为止。

具体过程如下：

那该如何让两个有序子区间归并呢？

直接在数组中肯定不行，这样会发生数据的覆盖。所以我们可以像之前合并两个有序数组一样，另外开辟一个空间tmp，依次比较两个有序子区间的值，每次比较后把较小的放在tmp中，如果其中一个子区间提前结束，就把另外一个子区间的剩余的数据全放进tmp，最后把tmp中的数据拷贝回原数组。

使用递归实现：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void _MegeSort(int* a, int begin, int end,int*tmp)
{//只剩一个数据，递归结束if (begin == end){return;}int mid = (begin + end) / 2;//递归子区间，分为两部分_MegeSort(a, begin, mid, tmp);_MegeSort(a, mid+1, end, tmp);int begin1 = begin, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = end;int j = begin;//两部分比较，每次小的放入tmpwhile (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] < a[begin2]){tmp[j++] = a[begin1++];}else{tmp[j++] = a[begin2++];}}//哪部分有剩余，全部放入tmpwhile (begin1 <= end1){tmp[j++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[j++] = a[begin2++];}//拷贝到原数组memcpy(a + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));
}
void MegeSort(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);_MegeSort(a, 0, n - 1, tmp);free(tmp);
}void Print(int* a, int n)
{for (int i = 0; i < n; i++){printf("%d ",a[i]);}printf("\n");
}
int main()
{int a[] = { 1,4,9,6,3,5,2,8,10,7,11,1};MegeSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));Print(a, sizeof(a) / sizeof(int));return 0;
}

注意：

1. 因为每次递归的子区间都不一定是从0开始的，所以我们拷贝数据时，最好从begin的位置开始：

//拷贝到原数组
memcpy(a + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));

2. 在代码中j作为tmp的坐标，每次往tmp中放入数据后都要加一，但不能初始化为0，否则每次递归进入，j的值都会清0，所以最好初始化：j=begin

归并排序的复杂度：

时间复杂度：O(N*logN)

归并排序每次递归都要把待排数据分为两份，相当于二分法，那一共有logN层递归，而每次递归都要比较数据，要把每个数据都遍历一遍，每层的时间复杂度就是O(N)，所以总共的时间复杂度是O(N*logN)。

空间复杂度：O(N) 

刚开始就开辟了空间，此时就已经是O(N)了，而递归过程中函数栈帧的创建是logN，所以总的空间复杂度是：O(N+logN)，但是量级没变，还是O(N)。

2.非递归实现归并排序

非递归实现归并排序，我们只需模拟上述的递归过程即可，把递归过程转换为：把数据先分为2个一组，全部归并一遍，拷贝回原数组，然后4个一组，全部归并一遍，拷贝回原数组，再8个一组， 全部归并一遍，拷贝回原数组，

那我们就可以设置一个gap，两个数据为一组时，gap=1，每归并一组数据就往后跳2*gap步，直到全部归并一遍，再次分组，这次gap=2，每归并一组数据往后跳2*gap步，直到全部归并一遍，下次gap=4，跳2*gap步.....，直到gap>n就停止，

代码如下：

void MegeSortNonR(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail\n");return;}int gap = 1;while (gap < n){int j = 0;for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap){int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;//两部分比较，每次小的放入tmpwhile (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] < a[begin2]){tmp[j++] = a[begin1++];}else{tmp[j++] = a[begin2++];}}//哪部分有剩余，全部放入tmpwhile (begin1 <= end1){tmp[j++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[j++] = a[begin2++];}}memcpy(a, tmp, sizeof(int) * n);gap *= 2;}free(tmp);
}

测试一下：

上面结果看起来，我们排序成功了，但是上述代码真的对吗？

上面代码我们在测试时用的是8个数据，但是如果用9个、10个等，就会发现排序并不会成功，可能程序还会崩掉，这是为什么呢？

因为我们在分组时，是按照固定的2的次方分的，一旦数据个数不是2、4、8的次方，后面归并时就会发生越界问题。

下面我们给10个数据打印一下边界，会发现，有三种越界的方式，：

那我们对这三种情况分别做一下处理：

第1、2种情况出现时，我们直接break，第三种情况，我们修改边界，令end2=n-1，但是注意直接break后，第1、2种情况往tmp中归并时会少一部分数据（如上图蓝框所示），所以最后把tmp的数据往a中拷贝时，不能一次性全部拷贝回去，否则a中这些数据就永远丢失了，所以最好归并一段，拷贝一段，这样拷贝过去的数据只会把前面的数据覆盖，没参与归并的数据还在a中。

代码如下:

void MegeSortNonR(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail\n");return;}int gap = 1;while (gap < n){int j = 0;for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap){int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;if (end1 >= n || begin2 >= n){break;}//修正if (end2 >= n){end2 = n - 1;}//两部分比较，每次小的放入tmpwhile (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] < a[begin2]){tmp[j++] = a[begin1++];}else{tmp[j++] = a[begin2++];}}//哪部分有剩余，全部放入tmpwhile (begin1 <= end1){tmp[j++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[j++] = a[begin2++];}//归并一段，拷贝一段memcpy(a+i, tmp+i, sizeof(int) * (end2-i+1));}gap *= 2;}free(tmp);
}

3.计数排序

基本思想：

1. 统计每个数据出现的次数。

2. 根据数据的次数排序。 

如果我们要排序的数在0~9之间，我们可以像上面一样开辟10个int大小的空间，统计待排数据中每个数据的个数，在开辟出的数组的相应下标处计数，那如果我们要排序的数据在100~109之间呢？难道开辟110个空间吗？

当然不是，我们可以做相对映射，在开辟空间之前，先找到待排数据中的最小值和最大值，开辟空间的大小就是：sizeof(int)*(max-min+1)，开辟出的数组下标应该是：0~9，0~9下标的位置分别对应的是100~109，计数时，在下标为该数据减待排数据中的最小值的位置统计次数，例如：109就在109-100=9的下标处统计次数，统计完排序的时候再加上最小值即可。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void CountSort(int* a, int n)
{int min = a[0], max = a[0];//找最大值和最小值for (int i = 0; i < n; i++){if (a[i] < a[0]){min = a[i];}if (a[i] > a[0]){max = a[i];}}int range = max - min + 1;int* count = (int*)malloc(sizeof(int) * range);memset(count, 0, sizeof(int) * range);//计数for (int i = 0; i < n; i++){count[a[i] - min]++;}//排序int k = 0;for (int j = 0; j < range; j++){while (count[j]--){a[k++] = j + min;}}
}
//打印函数
Print(int* a, int n)
{for (int i = 0; i < n; i++){printf("%d ", a[i]);}printf("\n");
}
int main()
{int a[] = { 6,1,6,7,9,6,4,5,6,1 };CountSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));Print(a, sizeof(a) / sizeof(int));return 0;
}

计数排序的复杂度：

时间复杂度：O(N+range)

寻找最大值和最小值时，遍历一遍数组，时间复杂度是：O(N)，由于待排数据的范围是range，排序时所耗费的时间复杂度是：O(range)，所以最终的时间复杂度是：O(N+range)

如果知道N和range的大小，N大，就是O(N)，range大，就是O(range)。

空间复杂度：O(range)

额外开辟的空间个数是range，所以空间复杂度就是：O(range)

4.排序的复杂度和稳定性

总结如下：

 以上就是排序学习的全部内容了，到这，数据结构的学习就告一段落了，近期会停更一段时间，用来复习，后面将继续学习C++的知识，

未完待续。。。