概率论与数理统计中常见的随机变量分布律、数学期望、方差及其介绍

1 离散型随机变量

1.1 0-1分布

设随机变量X的所有可能取值为0与1两个值，其分布律为

若分布律如上所示，则称X服从以P为参数的(0-1)分布或两点分布。记作X~ B(1，p)

0-1分布的分布律利用表格法表示为:

X	0	1
P	1-P	P

0-1分布的数学期望E(X) = 0 * (1 - p) + 1 * p = p

1.2 二项分布

二项分布的分布律如下所示：

其中P是事件在一次试验中发生的概率，称随机变量X服从参数为n,p 的二项分布，记作X~B(n,p)。当n=1时，X为(0-1)分布

二项分布利用表格法也可表示为:

二项分布的数学期望E(X) = np

1.3 泊松分布

设随机变量X所有可能取值是0,12,…,而取各个值的概率为

其中λ>0是常数，则称随机变量 X 服从泊松分布，记为 X ~ π(λ)

泊松分布利用表格法可表示为:

泊松分布的数学期望E(X) = λ

泊松分布的方差D(X) = λ

1.4 几何分布

记X在独立重复试验中事件A首次发生所进行试验的次数，则

我们称随机变量X服从几何分布，记作X~G§。

几何分布利用表格法也可表示为:

几何分布的数学期望E(X) = 1/p

几何分布的方差D(X) = (1-p)/(p*p)

1.5 超几何分布

设有N件产品，其中有M(MSN)件次品。从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产
品中次品的件数，则

我们称随机变量X服从参数为N、M、n的超几何分布

注意:超几何分布为不放回抽样。

2 连续性随机变量

2.1 均匀分布

2.1.1 均匀分布的密度函数

若连续型随机变量X的概率密度

则称f(x)在(a,b)上服从均匀分布，记作X~U(a,b)

2.1.2 均匀分布的分布函数及图像

均匀分布的分布函数为:

f(x)与F(x)分别如图所示:

2.1.3 均匀分布的数学期望及其方差

均匀分布的数学期望E(X) = ( a + b ) / 2

均匀分布的方差D(X) = (( b - a ) ^ 2) / 12

2.2 指数分布

2.2.1 指数分布的概率密度

若连续型随机变量X概率密度为:

其中λ>0为常数，则称X 服从参数为的指数分布。记作X~ E(λ)

2.2.2 指数分布的分布函数及图像

随机变量X的分布函数和图像为:

2.2.3 指数分布的数学期望及其方差

指数分布的数学期望E(X) = 1 / λ

指数分布的方差D(X) = 1 / (λ ^ 2)

2.3 正太分布

2.3.1 一般正太分布的密度函数、分布概率及其图像

若连续型随机变量X的概率密度和图像为:

其中μ，σ( σ > 0)为常数，则称服从参数为，的正态分布，记作X~ N(μ, σ * σ),分布函数为:

2.3.2 标准正太分布的密度函数、分布概率及其图像

当参数 u=0，σ=1时称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N(0,1)。其概率密度及分布函数如下所示:

概率密度图像如下所示:

其概率密度函数的图形如图 (9)所示。由(x)的图形，不难得出如下性质:

2.3.3 正太分布的数学期望及其方差

正太分布的数学期望E(X) = u

正太分布的方差D(X) = σ

3 数学期望的性质

下面给出数学期望常见的性质:

1. 设C是常数，则有E©=C。
2. 设X是一个随机变量，C为常数，则有 E(CY)=CE(Y)
3. 设X,Y为两个随机变量，则E(XY)=E(Y)E(Y)
4. 设X,Y 为相互独立的随机变量，则 E(XY)=E(Y)·E(Y)

数学期望E(X)和方差D(X)之间的关系:

4 方差

4.1 方差的性质

1. 设C为常数，则D©=0。

2. @设X是随机变量，C是常数，则有 D(CX)=C^2D(X)，D(X+C)=D(X)

3. 设XY是两个随机变量，则有特别地，若X与Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y)

4. D(Y)=0的充分必要条件是以概率为1 取常数 E(X)，即P{ X=E(X) } = 1

4.2 协方差和相关系数

协方差公式: cov(X,Y) = E(XY) - EXEY

协方差公式的几个变形:

相关系数ρxy公式如下: