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C++前缀和算法的应用：最大化城市的最小供电站数目

news 2026/1/30 10:45:09

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频
二分法

题目

给你一个下标从 0 开始长度为 n 的整数数组 stations ，其中 stations[i] 表示第 i 座城市的供电站数目。
每个供电站可以在一定范围内给所有城市提供电力。换句话说，如果给定的范围是 r ，在城市 i 处的供电站可以给所有满足 |i - j| <= r 且 0 <= i, j <= n - 1 的城市 j 供电。
|x| 表示 x 的绝对值。比方说，|7 - 5| = 2 ，|3 - 10| = 7 。
一座城市的电量是所有能给它供电的供电站数目。
政府批准了可以额外建造 k 座供电站，你需要决定这些供电站分别应该建在哪里，这些供电站与已经存在的供电站有相同的供电范围。
给你两个整数 r 和 k ，如果以最优策略建造额外的发电站，返回所有城市中，最小供电站数目的最大值是多少。
这 k 座供电站可以建在多个城市。
示例 1：
输入：stations = [1,2,4,5,0], r = 1, k = 2
输出：5
解释：
最优方案之一是把 2 座供电站都建在城市 1 。
每座城市的供电站数目分别为 [1,4,4,5,0] 。

城市 0 的供电站数目为 1 + 4 = 5 。
城市 1 的供电站数目为 1 + 4 + 4 = 9 。
城市 2 的供电站数目为 4 + 4 + 5 = 13 。
城市 3 的供电站数目为 5 + 4 = 9 。
城市 4 的供电站数目为 5 + 0 = 5 。
供电站数目最少是 5 。
无法得到更优解，所以我们返回 5 。
示例 2：
输入：stations = [4,4,4,4], r = 0, k = 3
输出：4
解释：
无论如何安排，总有一座城市的供电站数目是 4 ，所以最优解是 4 。
参数范围：
n == stations.length
1 <= n <= 105
0 <= stations[i] <= 105
0 <= r <= n - 1
0 <= k <= 109

分析

时间复杂度

O(nlogm)，m= sum(stations)+k。

第一层循环

如果任何城市的最小供电站数大于等于llTarget，则任何城市的最小供电站数一定llTarget-1，如果有多个满足条件的，我们返回最后一个。显然用左闭右开的二分。极限情况下能有多少供电站？所有供电站（已建和可建的)都可以供应所有城市。

第二层循环

当前城市供电站不足的时候，在right城市建立足够的供电站。

变量说明


i	当前城市
llTarget	让所有城市至少有iTarget个供电站
llNeed	让所有城市至少有iTarget个供电站，需要新建多少个供电站
stations	各城市供电站（新建、已有）之和
llHas	能给当前城市供电的供电站，包括处理之前城市而建立的供电站
left	给当前城市供电的最左城市
right	能给当前城市供电的最右城市

注意

r可以大于stations.size()

代码

核心代码

class Solution {
public:long long maxPower(vector<int>& stations, int r, int k) {m_iR = r;m_iK = k;m_stations = stations;long long left = 0, right = std::accumulate(stations.begin(), stations.end(),0LL) + k + 1;//左闭右开while (right - left > 1){const long long mid = left + (right - left) / 2;if (TargetNeed(mid)){left = mid;}else{right = mid;}}return left;}//所有城市供电站达到iTarget，需要新建多少供电站bool TargetNeed(long long llTarget){vector<int> stations = m_stations;long long llHas = 0;int left = 0;int right = min(m_iR, (int)stations.size() - 1);//[left,right]表示能够给此城市供电的电站for (int i = 0; i <= right; i++){llHas += stations[i];}long long llNeed = 0;		auto Add = [&](){const long long curNeed = llTarget - llHas;if (curNeed > 0){llNeed += curNeed;if (llNeed > m_iK){return false;}stations[right] += curNeed;llHas += curNeed;}return true;};if (!Add()){return false;}for (int i = 1; i < stations.size(); i++){if (i - left > m_iR){				llHas -= stations[left];left++;}if (right+1 < stations.size()){right++;llHas += stations[right];}if (!Add()){return false;}}return true;}int m_iR;int m_iK;vector<int> m_stations;
};

测试用例

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

int main()
{
Solution slu;
vector stations = { 1, 2, 4, 5, 0 };
int r = 0;
int k = 0;
long long res;
stations = { 1, 2, 4, 5, 0 };
r = 1, k = 2;
res = slu.maxPower(stations, r, k);
Assert(5LL, res);
stations = {1 };
r = 0, k = 3;
res = slu.maxPower(stations, r, k);
Assert(4LL, res);
stations = { 0 };
r = 0, k = 0;
res = slu.maxPower(stations, r, k);
Assert(0LL, res);
stations = { 4, 4, 4, 4 };
r = 0, k = 3;
res = slu.maxPower(stations, r, k);
Assert(4LL, res);
stations.assign(2, 1);
r = 1;
k = 1;
res = slu.maxPower(stations, r, k);
Assert(3LL, res);
stations.assign(100000, 100000);
r = 100000;
k = 1e9;
res = slu.maxPower(stations, r, k);
Assert(long long(1e10+1e9+0.5), res);
//CConsole::Out(res);
}

3月旧代码

class Solution {
public:
long long maxPower(vector& stations, int r, int k) {
m_c = stations.size();
CalPower(stations, r);
long long left = *std::min_element(m_vPower.begin(),m_vPower.end());
long long right = left + k+1 ;
while (left + 1 < right)
{
long long iMid = (left + right) / 2;
if (Can(iMid,r,k))
{
left = iMid;
}
else
{
right = iMid;
}
}
return left;
}
void CalPower(vector stations,int r )
{
long long llCur = 0;
for (int i = 0; i < r; i++)
{
llCur += stations[i];
}
for (int i = 0; i < stations.size(); i++)
{
if (i + r < m_c)
{
llCur += stations[i + r];
}
if (i - r - 1 >= 0)
{
llCur -= stations[i - r - 1];
}
m_vPower.push_back(llCur);
}
}
bool Can( long long llMinPower, int r, int k)const
{
long long llAdd = 0;
vector vDiff(m_vPower.size());
for (int i = 0; i < m_vPower.size(); i++)
{
llAdd += vDiff[i];
const long long llNeedAdd = llMinPower - (m_vPower[i] + llAdd);
if (llNeedAdd <= 0 )
{
continue;
}
if (llNeedAdd > k )
{
return false;
}
const int iNewIndex = i + r + r + 1;
if (iNewIndex < m_c)
{
vDiff[iNewIndex] -= llNeedAdd;
}
llAdd += llNeedAdd;
k -= llNeedAdd;
}
return true;
}
vector m_vPower;
int m_c;
};

8月旧代码

扩展阅读

视频课程

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墨家名称的来源：有所得以墨记之。
算法终将统治宇宙，而我们统治算法。《喜缺全书》

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开

发环境： VS2022 C++17