【数据结构】时间和空间复杂度

 马上就要进入到数据结构的学习了 ，我们先来了解一下时间和空间复杂度，这也可以判断我们的算法是否好坏；

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如何衡量一个算法的好坏？

就是看它的算法效率

算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

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时间复杂度 

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。 

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大O的渐进表示法

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。 

Func 执行的基本操作次数 ：

F(N)=N^2+2N+10

但是如果N无限大呢？

N=10  F(N) = 130

N=100  F(N) =10210

N=1000 F(N)=1002010 

因此我们有以下结论：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。F(N)=N^2+2N+10
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。F(N)=N^2
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。 

假如 F(N) = 3N^2

那么3省略 F(N) = N^2 

所以 大O为O(N^2)

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界) 

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N) 

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常见时间复杂度计算举例 

 

 F(N) = 2N+10

根据公式 F(N)=N;

所以就是O(N)

 

M和N都为未知数

F(N)=M+N;

所以就是O(M+N) 

F(N)=100;

所以F(N)=1;

所以就是O(1); 

有最好情况下也有最坏情况下，一般我们只考虑最坏情况下 

 

二分查找的时间复杂度为O(logN） 

 

一般情况下 递归的时间复杂度就为 递归的次数*每次递归执行的次数 

 

这个斐波那契递归得画图分析

所以大O为O(2^N) 

 空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法

 

空间复杂度为O(1) 

因为没有申请其他的数组，只使用了原来的数组

时间复杂度为O(N) 

因为申请了一个其他数组

 

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N) 

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