正是阶段高等数学复习--函数极限的计算

之前在预备阶段中函数极限的解决方式分三步，第一步观察形式并确定用什么方式来解决，第二步化简，化简方式一共有7种，分别是最重要的三种（等价替换、拆分极限存在的项、计算非零因子）以及次重要的4种（根式有理化、提公因子、倒代换、幂指函数指数化），第三步是计算（泰勒公式和洛必达法则），每做完一步就要先观察，化简式子。

在基础阶段中更加简洁了一下，函数极限的计算一共有五个方法：利用基本极限求极限、利用等价无穷小求极限、利用有理运算法则求极限、利用洛必达法则求极限、利用泰勒公式求极限，这样更加简洁了，比如我们观察形式的时候发现是0/0型，那我们就考虑用等价替换或者是洛必达或泰勒公式来解决，若是1^无穷型，则利用基本极限中x->0,（1+x）^1/x=e的扩展的三部曲来解决等等。

首先第一个方法：利用基本极限求极限（9个），分别是x->0,sinx/x；x->0,（1+x）^1/x=e；x->无穷,（1+1/x）^x=e（这里注意，x->无穷,（1+x）^1/x = ？或者x->0,（1+1/x）^x = ？，首先幂指函数的底数一定>0所以上述两个极限都不存在，因为左右极限有一边是不存在的，其次若只求存在的那一边，结果等于什么，我们可以用幂指函数指数化然后结合方法来求，最后结果为1）；x->0,a^x-1/xlna=1；x->无穷,n^1/n=1(这个可以用幂指函数指数化来求得)；x->无穷,a^1/n=1，多项式求极限（抓大头，当x->无穷时，取指数高的，当x->0时，取指数低的）；n->无穷，x^n=（|x|>1,=无穷，|x|<1,=0，x=1,=1，x=-1,不存在）；n->无穷，e^nx也是分情况讨论（x>0,x<0以及x=0）。我们将1^无穷型展开来说它的三步走：化为（1+f（x））^g（x）的形式；写成e^f（x）*g（x）的形式，最后得答案，推理过程不多说了。

第二个方法：利用等价无穷小求极限，乘除法中能用，加减法中也能用（a---a1,b---b1,a-b---a1-b1,前提是a/b!=1;;a---a1,b---b1,a+b---a1+b1,前提是a/b!=-1）,这个规则一定要搞清，下面就是一阶二阶三阶无穷小，一阶（sinx---x;tanx---x;arcsinx---x;arctanx---x;a^x-1---xlna;e^x-1---x;ln(1+x)---x;(1+f(x))^g(x)-1---f(x)*g(x)）二阶(1-cosx---1/2*x^2;ln(1+x)-1----1/2*x^2;e^x-1-x---1/2*x^2)三阶（sinx-x----1/6*x^3;arcsinx-1---1/6*x^3;tanx-x---1/3*x^3;arctanx-x----1/3*x^3）

第三个方法：利用有理运算法则求极限（其实是包含了拆分极限存在的项和计算非零因子），最初我们认为当x->x0时，f(x)+/-*g(x)只有当两个极限都存在的时候才能拆开，但是加减的时候有一个存在就可以拆开，因为另外一个如果是存在的则整体也是存在的，若另一个不存在则整体也是不存在的；在乘除法中若有一个是存在且不为0的就可以计算出来，一定是不为0，而且这个因子一定是相对整个函数是因子才能计算。当x->x0时，若f(x)/g(x)存在,且x->x0，g(x)=0,则x->x0，f(x)=0，即分母趋向于0，分子也趋向于0（f(x)=f(x)/g(x)*g(x)，0*有界一定=0）；当x->x0时，若f(x)/g(x)存在但不等于0,且x->x0，f(x)=0,则x->x0，g(x)=0，即分子趋向于0，分母也趋向于0（例如当x->0时，sinx/1+x^2=0，sinx->0,但1+x^2=0->2）

第四个方法：利用洛必达法则求极限（0/0或无穷/无穷都可以用，但是使用前有前提，就是使用完后极限还是存在的，一般做题的时候使用都存在）

第五个方法：利用泰勒公式（带皮埃诺余项的泰勒公式）求极限

前提是x=x0时n阶可导，特别是x=0时n阶可导我们使用麦克劳林公式

sinx、arcsinx、tanx、arctanx、cosx、e^x-1、ln(x+1)、（1+x）^a这八个比较重要