数字逻辑基础：原码、反码、补码

时间紧、不理解可以只看这里的结论

正数的原码、反码、补码相同。等于真值对应的机器码。
负数的原码等于机器码，反码为原码的符号位不变，其余各位按位取反。补码为反码+1。
三种码的出现是为了解决计算问题并简化电路结构。
在原码和反码中，存在正零+0和负零-0。
补码的出现用到了模的知识。

机器数和真值

日常书写时在数值前面用+号表示正数，-号表示负数，这种带符号的二进制数称为真值。
计算机处理时，必须将+和-转换为数码，符号数码化的数被称为机器数。
一般将符号位放到最高位，用0表示正，用1表示负。

机器数

以3为例，+3对应的二进制数是00000011，-3对应的二进制数是10000011。
二进制数00000011和10000011就是机器数。

真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。
例如上面的有符号数10000011，其最高位1代表负，其真正数值是-3而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
如：0000 0011的真值 = +000 0011，1000 0011的真值 =–000 0011

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001

因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:[1111 1111 , 0111 1111]，即[-127 , 127]。
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。
以"3+3"、"3+(-3)"、"-3+(-3)"为例，如果使用传统的加减法规则，逢二进一：

• 0000 0011+0000 0011=0000 0110=6，结果正确。
• 0000 0011+1000 0011=1000 0110=-6，结果错误。
• 1000 0011+1000 0011=10000 0110=-6，数据溢出。

在计算正数时，使用原码可以正常运算，但如果出现负数或减法运算，则会出错。
因此，原码在计算时，有着一套额外的规则。

原码的加法规则：

1. 判断被加数和加数的符号是同号还是异号。
2. 同号时，做加法，结果的符号就是被加数的符号。
3. 异号时，先比较被加数和加数的数值（绝对值）大小，然后由大值减去小值，结果的符号取大值的符号。

由于原码运算规则复杂，为了简化机器数的运算，因此需要寻找其他表示负数的方法，即之后的反码和补码。

反码

正数的反码是其本身。
负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各位按位取反。
也叫真值的按位变反。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算。

补码

补码的表示方法是:

• 正数的补码就是其本身。
• 负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值。

为什么要有三种码

首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减 (真值的概念在本文最开头)。
但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单。
计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂。
于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。
我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即，1-1 = 1 + (-1) = 0，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。

这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。
而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0和-0是一样的。但是0带符号是没有任何意义的。而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128：
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补就是-128。 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)。

• 整数0的补码只有一种形式，即00000000。
• 补码10000000表示-128。

使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是：[-2^31, 2^31-1]，因为第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

当真值用补码表示时，补码加法的规律和无符号数的加法规律完全一样，因此简化了加法器的设计。

运算时符号位和数值位一起参加运算，不必处理符号位上的进位，即丢弃符号位上的进位。

模%mod的应用

推荐一位博客园的大佬
https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/computercode.html

计算机巧妙地把符号位参与运算，并且将减法变成了加法，背后蕴含了怎样的数学原理呢？
将钟表想象成是一个1位的12进制数。
如果当前时间是6点，我希望将时间设置成4点，我们可以:

1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代。
现在的焦点就落在了如何用一个正数，来替代一个负数。

同余的概念

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余。
记作a ≡ b (mod m)。
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明:

• 4 mod 12 = 4
• 16 mod 12 = 4
• 28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28关于模 12 同余。

线性运算定理:

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:

• a ± c ≡ b ± d (mod m)
• a * c ≡ b * d (mod m)

-1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126。
发现有如下规律:

• (-1) mod 127 = 126
• 126 mod 127 = 126

即:

• (-1) ≡ 126 (mod 127)
• 2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1
所以说一个数的反码，实际上是这个数对于一个膜的同余数。而这个膜并不是我们的二进制，而是所能表示的最大值。这就和钟表一样，转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值。
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮，而因为符号位是参与计算的，正好和溢出的最高位形成正确的运算结果。
既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补
如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:
[0111 1111]原 = 127
其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值：

• (-1) mod 128 = 127
• 127 mod 128 = 127
• 2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128]。
但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]。