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对称锥规划：锥与对称锥

news 2025/12/13 2:23:29

文章目录

  • 对称锥规划：锥与对称锥
    • 锥的几何形状
    • 常用的指向锥
      • Nonnegative Orthant
      • 二阶锥
      • 半定锥
    • 对称锥
      • 对称锥的平方操作
      • 对称锥的谱分解
      • 对称锥的自身对偶性
    • 二阶锥规划SOCP
    • 参考文献

对称锥规划：锥与对称锥

本文主要讲锥与对称锥的一些基本概念。

基础预备：

凸优化学习笔记（一）

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

锥的几何形状

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常用的指向锥

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Nonnegative Orthant

当n=2时，可以理解为非负的象限，当n=3时，可以理解为非负的卦限。经过仿射变换后，可以理解为n个半空间的交。

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二阶锥

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半定锥

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对称锥

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对称锥的平方操作

通过欧几里得若当代数(Rn,∘)\left(\mathbb{R}^n, \circ\right)(Rn,∘)，可以将对称锥写成一个平方的形式，便于规划分析与统一表达。

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对称锥的谱分解

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对称锥的自身对偶性

对称锥的对偶锥还是它本身。

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二阶锥规划SOCP

很多问题都可以转化为二阶锥规划来求解，而二阶锥规划能够使用内点法很快求解。例如下图，使用松弛方式可以将QP问题转化成SOCP问题。

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根据Shur补定理，又可将SOCP问题转化为SDP问题。因此，就问题的表达能力而言，LP<QP<SOCP<SDP。

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参考文献

机器人中的数值优化

最优化：建模、算法与理论/最优化计算方法

正定矩阵的相关性质，凸锥

锥，凸锥，二阶锥，二阶锥规划

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