有趣的数学 数学建模入门三 数学建模入门示例两例 利用微积分求解

一、入门示例1

1、问题描述

       某宾馆有150间客房，经过一段时间的经营，该宾馆经理得到一些数据：如果每间客房定价为200元，入住率为55％；定价为180元，入住率为65％；定价为160元，入住率为75％；定价为140元，入住率为85％。

        经理想要使每天的收入最高，问每间客房的定价应为多少？

2、模型假设

        假设1：每间客房的最高定价为200元。

        假设2：根据题目提供的数据，可设随着房价的下降，入住率呈线性增长。

        假设3：宾馆的每间客房的定价相等。

3、模型建立

        设表示宾馆一天的总收入，与200元相比每间客房降低的房价为元。由假设2可得，每降低1元房价，入住率就增加。

        因此，150间客房，最高房价200，1元入住率为0.005，可以如下公式：

        由，可知。于是问题转化为求当时，总收入的最大值是多少？

4、模型求解

        我们整理一下上面的方程。

       

        

        然后利用一元函数微分，令

        可得当，即房价定为155元时，可获得最高收入18018.75元。此时，相应的入住率为77.5％。

二、入门示例2

1、问题描述

        人口统计学家已经发现：每个城市的市中心人口密度最大，离市中心越远人口越稀少、密度越小。最为常见的人口密度模型为（每平方千米人口数），其中，为大于0的常数，是距市中心的距离。如何求某城市的总人口数？

        根据相关数据：某城市市中心的人口密度为：。

        在距离市中心10km时的人口密度为：。

        该城市为半径30km的圆形区域。

2、问题分析

        为了确定区间，设市中心位于坐标原点，于是，从而人口密度函数为。

3、模型求解

        先确定人口密度中的常数a，c。

        由，；，，可得，，

        因此人口密度函数为：

        从而该城市的总人口数就是人口密度函数的积分，其中积分区域D为，，即