有趣的数学 数学建模入门三 数学建模入门示例两例 利用微积分求解
一、入门示例1
1、问题描述
某宾馆有150间客房,经过一段时间的经营,该宾馆经理得到一些数据:如果每间客房定价为200元,入住率为55%;定价为180元,入住率为65%;定价为160元,入住率为75%;定价为140元,入住率为85%。
经理想要使每天的收入最高,问每间客房的定价应为多少?
2、模型假设
假设1:每间客房的最高定价为200元。
假设2:根据题目提供的数据,可设随着房价的下降,入住率呈线性增长。
假设3:宾馆的每间客房的定价相等。
3、模型建立
设表示宾馆一天的总收入,与200元相比每间客房降低的房价为
元。由假设2可得,每降低1元房价,入住率就增加
。
因此,150间客房,最高房价200,1元入住率为0.005,可以如下公式:
由,可知
。于是问题转化为求当
时,总收入
的最大值是多少?
4、模型求解
我们整理一下上面的方程。
然后利用一元函数微分,令
可得当,即房价定为155元时,可获得最高收入18018.75元。此时,相应的入住率为77.5%。
二、入门示例2
1、问题描述
人口统计学家已经发现:每个城市的市中心人口密度最大,离市中心越远人口越稀少、密度越小。最为常见的人口密度模型为(每平方千米人口数),其中
,
为大于0的常数,
是距市中心的距离。如何求某城市的总人口数?
根据相关数据:某城市市中心的人口密度为:。
在距离市中心10km时的人口密度为:。
该城市为半径30km的圆形区域。
2、问题分析
为了确定区间,设市中心位于坐标原点,于是,从而人口密度函数为
。
3、模型求解
先确定人口密度中的常数a,c。
由,
;
,
,可得
,
,
因此人口密度函数为:
从而该城市的总人口数就是人口密度函数的积分,其中积分区域D为,
,即
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