逻辑回归代价函数

逻辑回归的代价函数通常使用交叉熵损失来定义。这种损失函数非常适合于二元分类问题。

本篇来推导一下逻辑回归的代价函数。

首先，我们在之前了解了逻辑回归的定义：逻辑回归模型是一种用于二元分类的模型，其预测值是一个介于0和1之间的概率。模型的形式是一个S形的逻辑函数（sigmoid函数），但是sigmoid函数的参数到底要选哪个，就需要对sigmoid函数的结果进行评判，因此也就需要第二步：损失评估。

举个例子：

假设我们有一个逻辑回归模型，用来预测学生是否会通过最终考试。我们有两个特征：学生的出勤率和平均成绩。模型的目标是基于这些特征预测学生是否会通过考试（"通过"记为1，"不通过"记为0）。

特征和参数

• 假设特征向量$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$，其中$x_1$是学生的出勤率，$x_2$是学生的平均成绩。
• 模型的参数为$\theta =\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\theta }_1\\ {\theta }_2\end{array}\right]$，其中${\theta }_0$是偏置项，${\theta }_1$和${\theta }_2$分别是与出勤率和平均成绩相关的权重。

计算$h(x)$

模型会计算$h(x)$，即给定特征时通过考试的预测概率。这是通过sigmoid函数来完成的：

$$h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-({\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2)}}$$

假设对于一个特定学生，出勤率$x_1=0.85$（85%），平均成绩$x_2=75$，而模型参数为${\theta }_0=-4$，${\theta }_1=10$，${\theta }_2=0.05$。那么$h(x)$的计算为：

$$h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-(-4+10\times 0.85+0.05\times 75)}}$$

计算这个表达式的值（这需要一些数学运算），假设结果是$h_{\theta }(x)\approx 0.76$。这意味着根据我们的模型，这个学生通过考试的预测概率是 76%。基于这个预测，由于概率大于0.5，我们可以预测这个学生会通过考试。

到这一步为止，${\theta }_0=-4$，${\theta }_1=10$，${\theta }_2=0.05$实际上是我们随机(或经验)取的一组参数数值，但其并不是最佳的，所以就需要有一个代价函数来判断整体的损失(正确率)，再进行梯度下降（或其他优化算法）来迭代地调整这些参数，以获得最小化损失。

在逻辑回归中，由于目标结果只有0和1两种情况，因此去计算一组数据的损失的时候就需要区分成两个函数：

当 y=1 时的损失函数

$$\text{Cost when }y=1:-\log (h_{\theta }(x))$$

当 y=0 时的损失函数

$$\text{Cost when }y=0:-\log (1-h_{\theta }(x))$$
对应的图如下：

用一个式子来同时包含这两个情况就是我们的逻辑回归的代价函数（交叉熵损失）：
$$J(\theta )=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left[y^{(i)}\log (h_{\theta }(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log (1-h_{\theta }(x^{(i)}))\right]$$
我们可以看到这里$log(h_{\theta }(x^{(i)}))$前面乘以了$y^{(i)}$，所以当目标值为0的时候，这部分就变成了0，也就不会影响后面部分的计算，就很简单地实现了两个式子融合。