70.爬楼梯

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意： 给定 n 是一个正整数。

示例 1:

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2:

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

解题思路

动态规划

1. 定义状态： 设 dp[i] 表示爬到第 i 阶楼梯的方法数。
2. 状态转移方程： dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]，即爬到第 i 阶楼梯的方法数等于爬到第 i-1 阶楼梯的方法数加上爬到第 i-2 阶楼梯的方法数。
3. 初始状态： dp[1] = 1，dp[2] = 2。
4. 遍历顺序： 从小到大遍历，计算每一层楼梯的方法数。

特殊案例

• 如果输入 n 为 1 或 2，则直接返回 n。

C#代码实现

public int ClimbStairs(int n) {// 如果楼梯只有一阶或者两阶，直接返回阶数if (n == 1 || n == 2) {return n;}// 创建一个数组，长度为n+1int[] dp = new int[n + 1];// 初始化数组，第一阶和第二阶的步数都为1dp[1] = 1;dp[2] = 2;// 从第三阶开始，动态规划计算步数for (int i = 3; i <= n; i++) {// 动态规划转移方程，dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}// 返回最后一步的步数return dp[n];
}

C代码实现

int climbStairs(int n) {// 如果楼梯只有一阶或者两阶，直接返回阶数if (n == 1 || n == 2) {return n;}// 定义一个数组，用来存储阶数对应的斐波那契数int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));// 初始化数组，斐波那契数从1开始，所以dp[1]和dp[2]都等于1dp[1] = 1;dp[2] = 2;// 从第三阶开始，斐波那契数等于前两阶的和for (int i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}// 返回斐波那契数int result = dp[n];// 释放内存free(dp);return result;
}

时间复杂度和空间复杂度

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是楼梯的阶数。需要计算每一层楼梯的方法数。
• 空间复杂度：O(n)。使用了一个大小为 n+1 的数组来保存中间结果。