数值分析期末复习

第一章 科学计算

误差

解题步骤

$x:真实值$ $x^{\ast }:近似值$

1. 先求绝对误差$e^{\ast }$:
   $x-x^{\ast }$

绝对误差限是$|x-x^{\ast }|\le \epsilon$

2. 求相对误差限:
   $\frac{|x-x^{\ast }|}{x^{\ast }}$
3. 求有效数字
   1. 先计算 m
   2. 将绝对误差小于这一个数的半个单位，右上角的阶数为 m-n
   3. 通过计算得出 n 的值就是有效数字
      

举个例子：
相减得出结果为0.0000345则小于0.0005,则有效数字为4

例题1：

第二章 线性代数直接法

高斯消去法

高斯顺序消去法解题步骤

（假设是一个三行三列的矩阵）：

1. 先用第一行消去2,3行
2. 再用第二行消去第三行

例题1：

例题2：

高斯列主元消去法解题步骤

1. 比较哪一行的绝对值最大，然后交换
2. 用第一行消去第2、3行
3. 再次比较哪一行绝对值最大，交换
4. 重复步骤

例题1：

例题2：

LU分解

LU分解又称为：杜利特尔 (Doolittle)分解法，直接三角分解法

解题步骤

1. 将A矩阵分解成L、U矩阵
   1. L矩阵：下三角矩阵，对角线全为1，其他元素为x
   2. U矩阵：上三角矩阵，第一行元素和A矩阵相同，其他元素为x
2. 从A中矩阵逆向推导，L、U剩下的元素逐一相乘得出结果
   1. 按照顺序一行一行的元素去算

例题1：

追赶法

追赶法又称为：克劳特分解

解题步骤

1. 将A矩阵分解为L、U矩阵
2. L矩阵的特点：下三角矩阵，对角线为未知数$\alpha$，其他元素对A照抄
3. U矩阵的特点：上三角矩阵，对角线为1，对角线上面的元素为$\beta$
4. 把$\alpha ,\beta$全部算出来
5. $Ly=b$ ->$Ux=y$

例题：

第三章 线性代数方程组的迭代法

范数和条件数

1. 1范数（列范数）：每一列元素的绝对值之和的最大值 $||A|{|}_1$
2. 无穷范数（行范数）：每一行元素的绝对值之和的最大值
3. 2范数：
   1. 向量：向量元素平方的和的平方根
   2. 矩阵（又称为谱范数）：null
4. 无穷范数条件数：
   $con{d}_{\infty }\left(A\right)=||A|{|}_{\infty }||A^{-1}|{|}_{\infty }$

例题1：

例题2：

求$A^{-1}$的方法

1. 初等变换法
   

雅可比迭代法

解题步骤

1. 整体思路：将 Ax=b ->x=Bx+g 的形式
2. 先将第一行转换为$x_1=...$
3. 第二行 $x_3=....$
4. 以此类推
5. 画出表格
   

计算器解题步骤

1. 先将A、B、C、D、E、F设置为0 ($A代表x_1,B代表x_2,C代表x_3$)
   1. 0 sto A
   2. 0 sto B
   3. 0 sto C
   4. 0 sto D
   5. 0 sto E
   6. 0 sto F
2. 将每一行公式输入到计算器中，使用$:$进行分割
   1. D = …:E = …:F = …:A=D:B=E:C=F
      1. 这里是因为一开始不迭代，所以要设置DEF

高斯迭代法

解题步骤

1. 与雅可比迭代类似
2. 但是每次都会迭代前面那个值

计算器解题步骤

1. 先将A、B、C设置为0 ($A代表x_1,B代表x_2,C代表x_3$)
   1. 0 sto A
   2. 0 sto B
   3. 0 sto C
2. 将每一行公式输入到计算器中，使用$:$进行分割
   1. A = …:B = …:C = …

雅可比、高斯敛散性

1. 是否严格对角占优

严格对角占优：每一个对角元素的绝对值都大于它这一行的非对角元素绝对值之和，就是严格对角占优

2. 判断谱半径是否小于 1

• 计算 A 矩阵的L、D、U
  A：
  
  L：$下三角矩阵L包含A对角线以下的元素，其余位置为0（包括对角线）。$
  
  D：$对角矩阵D仅包含A的对角线元素，其余位置为0。D^{-1}是D每个元素的倒数$
  
  U：$上三角矩阵U包含A对角线以上的元素，其余位置为0（包括对角线）。$
  
• $计算迭代矩阵T_J=-D^{-1}(L+U)$
• 计算出谱半径：特征值绝对值的最大值 如果小于1 则收敛否则不收敛

用计算器计算特征值

• 特征值回顾：

  • 

• 矩阵赋值 将 ANS 赋值给 B

  • 

• $|A-\lambda E|=0，算出{\lambda }_1、{\lambda }_2、{\lambda }_3$

• 再计算出$(A-\lambda E)=0$

  • 化到最简$(A-\lambda E)$

第四章 多项式插值和样条插值

拉格朗日插值

一共 2 个部分：

1. 插值多项式
2. 插值余项

插值多项式

• $l_n(x)=[{\prod }_{i=0,i\ne j}^n\frac{x-x_i}{x_j-xi}]y_i$
• $L_n(x)={\sum }_{j=0}^n{L}_j(x)y_j$

线性 n=1，以此类推后面就是 2 次、3 次

插值余项

• $|R_n(x)|=\frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|W_{n+1}(x)|$
• $M_{n+1}={\max }_{a\le x\le b}|f^{n+1}(x)|$
• $W_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$

牛顿插值

插值多项式

• $f(x_0,...,x_n)=\frac{f_n-f_{n-1}}{x_n-x_0}$

解题步骤

1. 列差商表

x	f(x)	一阶差商
$x_0$	$f_0$
$x_1$	$f_1$	$f(x_0,x_1)$

以此类推，有 n 个 x 的值就有多少次 n-1 阶差商

2. 最后的结果公式
   $N_n(x)=f_0+f(x_0,x_1)(x-x_0)+...+f(x_0,...,x_{n+1})(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$

牛顿插值余项

需要补充

第五章 函数逼近

最佳平方逼近

解题步骤

1. 一般题目会给多项式，将其改写为$y=a+bx+c{x}^2+d{x}^3+...$，还有区间$[u,d]$
   • 如果是线性最佳平方逼近 多项式为 $y=a+bx$
   • 这边${\phi }_0=1$代表第一个未知数,${\phi }_1=x,{\phi }_2=x^2,{\phi }_3=x^3$
2. 列法方程
   • $\left(\begin{array}{ccc}（{\phi }_0，{\phi }_0）& （{\phi }_0，{\phi }_1）& （{\phi }_0，{\phi }_2）\\ （{\phi }_1，{\phi }_0）& （{\phi }_1，{\phi }_1）& （{\phi }_1，{\phi }_2）\\ （{\phi }_2，{\phi }_0）& （{\phi }_2，{\phi }_1）& （{\phi }_2，{\phi }_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(f,{\phi }_0)\\ (f,{\phi }_1)\\ (f,{\phi }_2)\end{array}\right)$
   • $第一个位置以{\phi }_0开始，后面每一行开头都自增，第二个位置从{\phi }_0到{\phi }_n结束$
   • a,b,c 是多项式中的 a,b,c
   • f 为 y
3. 计算
   • $（{\phi }_0，{\phi }_0）$ => ${\int }_d^u{\phi }_0\ast {\phi }_{0}dx$
   • $(f,{\phi }_0)$ => ${\int }_d^{u}f\ast {\phi }_{0}dx$
   • 以此类推
4. 算出方程后直接代入计算器解出 a,b,c 的值

最小二乘法

解题步骤：

1. 通常使用最小二乘法都会带有 x,y 的表格和一个多项式
2. 化简多项式为：${\phi }_0=1,{\phi }_1=x,{\phi }_2=x^2,{\phi }_3=x^3和a,b,c的形式$
3. 列法方程
4. 计算前先举个例子：

   1. $y=a+bx$ -> 这里 ${\phi }_0=1,{\phi }_1=x$
      x有 3 个，那么 ${\phi }_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$，将 x 代入，${\phi }_1=\left[\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right]$
      

      如果有${\phi }_2=x^2$的话，那么${\phi }_2=\left[\begin{array}{c}(-3{)}^2=9\\ (-2{)}^2=4\\ (-1{)}^2=1\end{array}\right]$

   2. 建立法方程：
      

      • $（{\phi }_0，{\phi }_0）$

        • $x个1组成的向量内积和$
          • $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=1+1+1=3$

      • $（{\phi }_0，{\phi }_1）$ = $（{\phi }_1，{\phi }_0）$ = $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right]=-3+（-2）+（-1）=-6$

      • $（{\phi }_1，{\phi }_1）$ = $\left[\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right]=9+4+1=14$

      • $（f，{\phi }_1）=\left[\begin{array}{c}-3.2\\ -2.1\\ -1.2\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -1\end{array}\right]=（-3\ast （-3.2））+（-2.1\ast （-2））+（-1.2+（-1））=15$

5. 将值代入矩阵，通过计算器得出结果，将 $a,b$ 结果代入$y=a+bx$ 得到最小二乘拟合函数

第六章 数值积分

尽可能高的代数精度

解题步骤

一般题目会给一个积分$\approx$一个多项式

1. 将f(x) 分别计算$1,x,x^2,x^3...$，取决于多项式中未知数的个数

2. 计算出来的值和多项式进行匹配，联立一个方程

3. 通过计算器得出结果

4. 计算R(f),一般从计算过的x次方的后一个开始计算

   1. R(f) = 积分 - 多项式
      1. 如果不等于0 那么精度为次方数m-1
      2. 等于0 继续算下一个次方
         
         

复合梯形公式

解题步骤

1. $h=\frac{b-a}{n},n=a,b\text{区间等分数}$

2. 把所有x的值列出来

3. 带入公式
   $${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\approx \frac{h}{2}\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)+2\sum _{k=1}^{n-1}f\left(x_k\right)\right]$$

4. 计算${\sum }_{k=1}^{n-1}f\left(x_k\right)$

   1. 先得出x的值，举例：
   2. 带入f函数得出y的值，然后相加

例题

复合辛普森公式

解题步骤

1. 前面计算h,n是一样的
2. 把所有的x的值列出来
3. 计算$x_{k+\frac{1}{2}}=x_k+\frac{h}{2}$
4. 计算公式得出结果：
   $${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\approx \frac{h}{6}\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)+4\sum _{k=0}^{n-1}f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right)+2\sum _{k=1}^{n-1}f\left(x_k\right)\right]$$

第九章 常微分方程初边值问题数值解

龙格-库塔公式

基本概念

一般问题会有$y^{\prime },h,f(x)=y$等参数
将其转换为

注意h的值，一般是在 $0\le x\le 1$之间，逐渐相加之后递增到1结束计算

四阶四段龙格库塔公式如下：

解题步骤

1. 将$x_0,y_0,h$写在旁边
2. 先将题目中给出的已知信息代入$k_1,k_2,k_3,k_4$
3. 更新$y_n$的值
4. 重复过程

$k_2$->f的$x_n+\frac{h}{2}$表示$x$,同理另外一个表示$y$,将其代入到f(x,y)中进行化简