LC-70-爬楼梯

原题链接：爬楼梯

个人解法

思路：

动态规划
状态表示：f[i]表示走到第n阶台阶有几种方法
状态转移：f[i] = f[i -1] + f[i - 2]

这实际上就是斐波那契数列，通过转移可以看到，我们只用了三个变量，故可以不用状态数组，而只用三个变量进行转移。

时间复杂度：$O(n)$

代码：

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {int a = 1, b = 1, c = 1;for(int i = 2;i <= n;i ++) {c = a + b;a = b, b = c;}return c;}
};

更好的解法

• 斐波那契数列矩阵表示

由递推可以得到：

故我们可以利用矩阵乘法快速幂求出$M^n$，从而求除$F_n$

• 利用解析解

斐波那契数列解析解：

由矩阵表示可以看到$M$矩阵为可逆矩阵且$M$可相似对角化，从而表示为$M=S\Lambda S^{-1}，其中\Lambda 为由特征值，S为特征向量组成的矩阵$

$那么M^n=S{\Lambda }^n{S}^{-1}，从而求出F_n的解析解$