【数据库原理】（16）关系数据理论的函数依赖

一.函数依赖的概念

函数依赖是关系数据库中核心的概念，它指的是在属性集之间存在的一种特定的关系。这种关系表明，一个属性集的值可以唯一确定另一个属性集的值。

• 属性子集：在关系模式中，X和Y可以是单个属性，也可以是属性的组合。
• 唯一确定：对于关系模式中的任意两个元组，如果它们在X上的值相同，则它们在Y上的值也必须相同。

定义

1. 基本定义：函数依赖，记作 X -> Y，意味着在关系模式 R(U) 中，如果 X 是 U 的子集，那么 X 的值可以唯一确定 Y 的值。
2. 非平凡函数依赖：如果 Y 不是 X 的子集，则 X -> Y 是非平凡函数依赖。
3. 平凡函数依赖：如果 Y 是 X 的子集，则 X -> Y 是平凡函数依赖。

完全与部分函数依赖

• 完全函数依赖：如果没有 X 的任何真子集能决定 Y，则称 Y 对 X 完全函数依赖。
• 部分函数依赖：如果 X 的某个真子集可以决定 Y，则称 Y 对 X 部分函数依赖。

传递函数依赖

• 定义：如果 X -> Y 和 Y -> Z 且 Y 不函数依赖于 X，则称 Z 对 X 传递函数依赖。。

函数依赖的闭包

• 闭包：由函数依赖集 F 推导出的所有函数依赖的集合称为 F 的闭包，记作 $F^{+}$。

数据库设计中的应用

1. 消除冗余和异常：理解和应用函数依赖有助于减少数据存储中的冗余，并避免更新、插入和删除异常。
2. 规范化：函数依赖是数据库规范化过程的基础。通过规范化，可以将数据库分解成多个结构简单、相互独立的小表，从而提高数据库的运行效率和数据的一致性。

实例分析

以一个简单的员工数据库为例，假设有一个关系模式Employee(员工号, 姓名, 部门)，其中：

• 如果一个员工号唯一地决定一个员工的姓名和部门，则称姓名和部门函数依赖于员工号（员工号 → 姓名, 部门）。
• 如果部门中的每个员工都有一个唯一的员工号，则员工号函数依赖于部门（部门 → 员工号），这可能表明设计上的问题，因为部门通常包含多个员工。

二.关键字(码)

关键字（码）的定义

• 基本概念：在关系数据库中，关键字（又称码）是一种特殊的属性或属性组合，能够在关系模式中唯一标识每个元组。
• 候选码：关系中所有可能作为唯一标识符的属性集称为候选码。
• 主码：从候选码中选定的一个作为主要的唯一标识符。
• 主属性：包含在任何一个候选码中的属性。
• 非主属性：不包含在任何码中的属性。

关键字的重要性

1. 唯一性标识：关键字确保关系中的每个元组都是唯一的，从而使数据的检索和操作更为准确。
2. 实体完整性：关键字强制执行实体完整性规则，确保数据库的准确性和可靠性。
3. 构建关系：关键字是关系间联系的基础，特别是在实现外键（外部码）时，它们建立了表之间的联系。

主键与外键

• 主键（Primary Key）：选定的候选码，用于唯一标识关系中的每个元组。
• 外键（Foreign Key）：存在于一个关系中但作为另一个关系的主键的属性或属性组。

示例

假设有关系模式 R(城市, 街道, 邮编)，其中 城市 和 街道 的组合能唯一确定一个邮编，这组属性可以作为候选码。如果在另一个关系模式中 邮编 是唯一标识符，则它在当前关系模式中作为外键存在。

选择合适的关键字

在数据库设计中，选择合适的关键字至关重要，因为它影响数据的整合性、存取效率和系统的可维护性。选择时应考虑以下因素：

1. 最小化：候选码应该尽可能小，以减少存储空间和提高处理效率。
2. 稳定性：选择不易改变的属性作为关键字。
3. 简洁性：简单的属性或属性组合更易于管理和使用。

二.Armstrong 公理系统

Armstrong 公理系统为函数依赖的理论提供了一套形式化的推理规则，用于从已知的函数依赖中导出更多的函数依赖。这一系统是关系模式分解算法的理论基础，帮助数据库设计者理解和应用函数依赖的概念。

Armstrong 公理系统的规则

1. 自反律 (Reflexivity):

   • 如果 Y⊆X⊆U，则 X→Y 是成立的。
   • 说明: 任何属性集总是函数决定其子集。

2. 增广律 (Augmentation):

   • 如果 X→Y 成立，且 Z⊆U，则 XZ→YZ 也成立。
   • 说明: 可以在函数依赖的两边同时增加相同的属性集。

3. 传递律 (Transitivity):

   • 如果 X→Y 和 Y→Z 成立，则 X→Z 也成立。
   • 说明: 函数依赖具有传递性。

由于关系的性质，Armstrong 公理系统是有效和完备的。它的推论包括合并规则、伪传递规则和分解规则。

推论规则

1. 合并规则 (Union Rule):

   • 如果 X→Y 和 X→Z 成立，则 X→YZ 也成立。
   • 说明: 可以合并具有相同左部的函数依赖。

2. 伪传递规则 (Pseudo Transitivity Rule):

   • 如果 X→Y 和 WY→Z 成立，则 XW→Z 也成立。
   • 说明: 当函数依赖的右部与另一个函数依赖的左部部分重叠时，可推导出新的函数依赖。

3. 分解规则 (Decomposition Rule):

   • 如果 X→Y 成立，并且 Z⊆Y，则 X→Z 也成立。
   • 说明: 函数依赖的右部可以分解成更小的部分。

重要结论

1. 函数依赖 $X\to A_1,A_2,...,A_n$​ 成立的充分必要条件是每个 $X\to A_i$​ 都成立。
2. 函数依赖集 F 的闭包 $F^{+}$ 是从 F 出发用公理导出的所有函数依赖的集合。

应用

Armstrong 公理系统在数据库设计中被广泛应用于确定关系模式的规范化程度。通过应用这些规则，设计者可以识别数据冗余和更新异常，并据此对数据库模式进行调整，以达到更高级别的规范化。