什么是欧拉筛??
欧拉筛(Euler's Sieve),又称线性筛法或欧拉线性筛,是一种高效筛选素数的方法。它的核心思想是从小到大遍历每个数,同时标记其倍数为合数,但每个合数只被其最小的质因数标记一次,从而避免了重复标记,实现了线性时间复杂度的素数筛选。
以下是一个使用 Python 实现的欧拉筛的例子:
def euler_sieve(n): # 初始化标记数组,默认所有数都是素数(未标记) is_prime = [True] * (n + 1) is_prime[0] = is_prime[1] = False primes = [] # 用于存储素数 for i in range(2, n + 1): if is_prime[i]: # i 是素数,将其加入素数列表 primes.append(i) # 标记 i 的倍数为合数 for j in range(i * i, n + 1, i): is_prime[j] = False return primes # 示例:找出 100 以内的素数
primes_up_to_100 = euler_sieve(100)
print(primes_up_to_100)
在这段代码中,euler_sieve
函数接受一个整数 n
作为参数,返回小于等于 n
的所有素数的列表。函数内部首先创建了一个布尔数组 is_prime
,用于标记每个数是否为素数。然后,函数从 2 开始遍历到 n
,对于每个遍历到的数 i
,如果 is_prime[i]
为真,则将 i
加入到素数列表中,并标记 i
的所有倍数为合数(从 i * i
开始,因为比 i
小的数的倍数已经被之前的素数标记过了)。
最终,函数返回素数列表。在这个例子中,我们调用 euler_sieve(100)
来找出 100 以内的所有素数,并打印结果。
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