【数学笔记】一元n次不等式,分式不等式,绝对值不等式
不等式
- 基本性质
- 一元n次不等式
- 一元二次不等式
- 一元高次不等式
- 分式不等式
- 绝对值不等式
基本性质
性质 |
---|
a > b ⇔ b < a a>b\Leftrightarrow b<a a>b⇔b<a |
a > b , b > c ⇒ a > c a>b,b>c\Rightarrow a>c a>b,b>c⇒a>c |
a > b , c ∈ R ⇒ a ± c > b ± c a>b,c\in R\Rightarrow a\pm c>b\pm c a>b,c∈R⇒a±c>b±c |
a > b , c > 0 ⇒ a c > b c a>b,c>0\Rightarrow ac>bc a>b,c>0⇒ac>bc |
a > b , c < 0 ⇒ a c < b c a>b,c<0\Rightarrow ac<bc a>b,c<0⇒ac<bc |
a > b , c > d ⇒ a + c > b + d a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d a>b,c>d⇒a+c>b+d |
a > b > 0 , c > d > 0 ⇒ a c > b d a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd a>b>0,c>d>0⇒ac>bd |
a > b > 0 , x > 0 ⇒ a x > b x a>b>0,x>0\Rightarrow a^x>b^x a>b>0,x>0⇒ax>bx |
比较大小:
- 作差法: { a − b > 0 ⇔ a > b a − b < 0 ⇔ a < b a − b = 0 ⇔ a = b \left\{\begin{matrix} a-b>0\Leftrightarrow a>b\\ a-b<0\Leftrightarrow a<b\\ a-b=0\Leftrightarrow a=b \end{matrix}\right. ⎩ ⎨ ⎧a−b>0⇔a>ba−b<0⇔a<ba−b=0⇔a=b
- 作商法: { a b > 1 ⇔ a > b a b < 1 ⇔ a < b a b = 1 ⇔ a = b ( a ∈ R , b > 0 ) \left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>b\\ \frac{a}{b}<1\Leftrightarrow a<b\\ \frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b \end{matrix}\right.(a\in R,b>0 ) ⎩ ⎨ ⎧ba>1⇔a>bba<1⇔a<bba=1⇔a=b(a∈R,b>0)
一元n次不等式
一元二次不等式
e.g.
a x 2 + b x + c > 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c>0 (a\ne 0) ax2+bx+c>0(a=0)
- a > 0 a>0 a>0
设方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0 存在实根,且为 x 1 , x 2 , x 1 ≤ x 2 x_1,x_2,x_1\le x_2 x1,x2,x1≤x2
显然原不等式的解集为: x ∈ ( − ∞ , x 1 ) ∪ ( x 2 , + ∞ ) x\in (-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty) x∈(−∞,x1)∪(x2,+∞)
若不存在实根,则解集为 x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) x\in(-\infty,+\infty) x∈(−∞,+∞) - a < 0 a<0 a<0
设方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0 存在实根,且为 x 1 , x 2 , x 1 ≤ x 2 x_1,x_2,x_1\le x_2 x1,x2,x1≤x2
显然原不等式的解集为: x ∈ ( x 1 , x 2 ) x\in(x_1,x_2) x∈(x1,x2)
若不存在实根,则解集为 x ∈ ∅ x\in\varnothing x∈∅
稍微理解一下,结合二次函数 y = a x 2 + b + c y=ax^2+b+c y=ax2+b+c的图像即可。
例题
- x 2 < 1 x^2<1 x2<1
- x 2 + 3 x + 2 ≥ 0 x^2+3x+2\ge0 x2+3x+2≥0
- x 2 + 4 x − 2 < 0 x^2+4x-2<0 x2+4x−2<0
答案:
- x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)
- x ∈ ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ − 1 , + ∞ ) x\in (-\infty,-2]\cup[-1,+\infty) x∈(−∞,−2]∪[−1,+∞)
- x ∈ ( − 2 − 6 , − 2 + 6 ) x\in (-2-\sqrt6,-2+\sqrt6) x∈(−2−6,−2+6)
一元高次不等式
通常我们将其化成 ∏ i = 1 k ( x − a i ) b i \prod_{i=1}^{k}(x-a_i)^{b_i} ∏i=1k(x−ai)bi 和 0 0 0 的大小关系式,并使用穿针引线法。
比如说 ( x − 1 ) 2 ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ≤ 0 (x-1)^2(x-2)(x-3)(x-4)\le0 (x−1)2(x−2)(x−3)(x−4)≤0
分类:
- 当 x ∈ x\in x∈ { 1 , 2 , 3 , 4 1,2,3,4 1,2,3,4}时,不等式成立。
- 当 x ∈ ( 4 , + ∞ ) x\in (4,+\infty) x∈(4,+∞)时,不等式显然不成立。
- 当 x ∈ ( 3 , 4 ) x\in(3,4) x∈(3,4)时,不等式显然成立。
- 当 x ∈ ( 2 , 3 ) x\in(2,3) x∈(2,3)时,不等式显然不成立。
- 当 x ∈ ( 1 , 2 ) x\in(1,2) x∈(1,2)时,不等式显然成立。
- 当 x ∈ ( − ∞ , 1 ) x\in(-\infty,1) x∈(−∞,1)时,不等式显然成立。
如图:
所以解集为 x ∈ ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 1 , 2 ] ∪ [ 3 , 4 ] x\in(-\infty,1]\cup[1,2]\cup[3,4] x∈(−∞,1]∪[1,2]∪[3,4] 即 x ∈ ( − ∞ , 2 ] ∪ [ 3 , 4 ] x\in(-\infty,2]\cup[3,4] x∈(−∞,2]∪[3,4]
口诀为“奇穿偶不穿”。
分式不等式
对于一个分式方程 f ( x ) g ( x ) < 0 \frac{f(x)}{g(x)}<0 g(x)f(x)<0或 > 0 >0 >0:
因为 a b \frac{a}{b} ba 和 a b ab ab 同号,所以 f ( x ) g ( x ) > 0 ⇔ f ( x ) g ( x ) > 0 \frac{f(x)}{g(x)}>0 \Leftrightarrow f(x)g(x)>0 g(x)f(x)>0⇔f(x)g(x)>0
然后就跟上面一样了。
绝对值不等式
这个采取分类讨论,类比一下 ∣ x ∣ > 4 |x|>4 ∣x∣>4的解集即可。
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