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有关平方或高次方的公式整理一元高次方程的求解

news 2025/12/21 11:07:32

Part.I Introduction

这篇博文记录一下数学中常用的有关平方或高次方的一些公式。

Chap.I 一些结论

下面一部分汇总了一些重要的结论

完全平方公式： $a±b)^2=a^2±2ab+b^2$
平方差公式： $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
三次方公式： $a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3$
三次方和的公式： $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
三次方差的公式： $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
三次方和减三数乘积： $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
二项式定理： $(a+b)n=Cn0an+Cn1a(n−1)b+⋯+Cnka(n−k)bk+⋯+Cnnbn(a+b)^n=C^0_na^n+C^1_na^{(n-1)}b+\cdots+C^k_na^{(n-k)}b^k+\cdots+C^n_nb^n$

Part.II 两项的 n 次方

Chap.I 和差的 n 次方（二项式定理）

$a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$ 这种完全平方公式大家应该很熟悉吧。但是想对它进行扩充： $n$ 项和的 $n$ 次方该怎样表示呢？

下面再看两个不同项的 $n$ 次方： $a+b)^n$ ，这个展开项有现成的公式，即二项式定理！

$(a+b)n=Cn0an+Cn1a(n−1)b+⋯+Cnka(n−k)bk+⋯+Cnnbn(a+b)^n=C^0_na^n+C^1_na^{(n-1)}b+\cdots+C^k_na^{(n-k)}b^k+\cdots+C^n_nb^n$

二项式系数： $Cnk(k=0,⋯,n)C^k_n\ (k=0,\cdots,n)$
二项式通式： $Cnka(n−k)bkC^k_na^{(n-k)}b^k$ 是展开式中的第 $k + 1$ 项，其通项公式可记作： $Tk+1=Cnka(n−k)bkT_{k+1}=C^k_na^{(n-k)}b^k$

Chap.II n 次方的和差

n次方差之差公式：
$an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b3+⋯+abn−2+bn−1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^3+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$

n次方之和公式。当n为奇数时，
$an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b3+⋯−abn−2+bn−1)a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^3+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$
当 n 为偶数时，没有n次方和公式，实际上，n为偶数时
$an−bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b3+⋯−abn−2+bn−1)a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^3+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$

也就是说，当 n 为偶数时， $a^n-b^n$ 有两种表达形式；只有当n为奇数时，才有n次方之和公式。

Part.III n 个不同项的平方

考虑 $n$ 个不同项的平方： $(a+b+c+⋯)2=?(a+b+c+\cdots)^2=?$

这里先不关心展开后每一项的具体内容是什么，首先关心可以展开成多少项，比如 $a+b)^2$ 在展开后，不整理的话有 $4$ 项，整理之后有 $3$ 项。为什么区分整理前后呢？因为在某些运算规则下，乘法是不具有交换律的，比如矩阵的乘法。下面列一个表格。

不同项数目	展开整理前	展开整理后
2	4	3
3	9	6
4	16	10
5	25	15
…
$n$	$n^2$	$Cn2+nC^2_n+n$

Part.IV 一元高次方程的求解

Chap.I 一次和二次

一元一次方程（又叫一元线性方程）

$a1x+x0=0(a1≠0)a_1x+x_0=0\ (a_1\neq 0)$ 解为 $x=-a_0/a_1$

一元二次方程
$ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)$ 其解为 $x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

判别式： $Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac$

$Δ>0\Delta>0$ ：方程有两个不等的实根
$Δ=0\Delta=0$ ：方程有两个相等的实根
$Δ<0\Delta<0$ ：方程有两个不等的虚根

韦达定理：设 $x_1,x_2$ 是方程的两个根

$x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x1⋅x2=cax_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Chap.II 一元三次方程

$ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\neq 0)$

其常用解法是意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法。

特殊形式的求根公式 $x^3+px^2+q=0$

在这里插入图片描述

一般形式的求根公式卡尔丹法
在这里插入图片描述

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ps：来源于百度百科，具体推导以后再说。

Chap.III 一元四次方程

$ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a≠0)ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (a\neq 0)$

一元四次方程的求根公式由意大利数学家费拉里首次提出证明。一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了一元二次方程从而得解的。于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。

ps：公式比较冗长，具体可看百度百科。