考研数据结构笔记（1）

上图为简述一下考研408中计算机组成原理，操作系统，数据结构和计算机网络它们之间的关系。接下来我们正式进入数据结构的学习。

数据结构在学什么？

• 如何用程序代码把现实世界的问题信息化
• 如何用计算机高效地处理这些信息从而创造价值

数据结构的基本概念

基本概念

数据：数据是信息的载体，是描述客观事物的数、字符以及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合。数据是计算机程序加工的原料。

计算机只能识别二进制数（0/1）

数据元素：数据元素是数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理，一个数据元素可由若干数据项组成。

数据项：数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。

结构：各个元素之间的关系。

数据结构：数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

数据对象：数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。

数据类型：是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称。

• 原子类型：其值不可再分的数据类型。

像int、float等数据类型都是原子类型。

• 结构类型：其值可以再分解为若干成分(分量) 的数据类型
• 抽象数据类型(ADT)：是抽象数据组织及与之相关的操作。

定义一个ADT，就是定义了数据的逻辑结构、数据的运算。也就是定义了一个数据结构

三要素

逻辑结构

集合

各个元素同属于一个集合，别无其它关系。

线性结构

数据元素之间是一对一的关系
除了第一个元素，所有元素都有唯一前驱
除了最后一个元素，所有元素都有唯一后继

树形结构

数据元素之间是一对多的关系

图结构

数据元素之间是多对多的关系

物理结构（存储结构）

顺序存储

顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。

• 优点：实现随机存储
• 缺点：只能使用相邻的一整块存储单元。

链式存储

链式存储：逻辑上相邻的元素在物理位置上可以不相邻，借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。

• 优点：不会出现碎片现象
• 缺点：存储指针占用额外的存储空间，且只能顺序存储。

索引存储

索引存储：在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表。索引表中的每项称为索引项，索引项的一般形式是(关键字，地址)

散列存储

散列存储：根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称哈希 (Hash) 存储

重点

• 采用顺序存储，则各个数据元素在物理上必须是连续的;
• 采用非顺序存储，则各个数据元素在物理上可以是离散的。
• 数据的存储结构会影响存储空间分配的方便程度
• 数据的存储结构会影响对数据运算的速度

数据的运算

数据的运算：施加在数据上的运算包括运算的定义和实现。
运算的定义是针对逻辑结构的指出运算的功能。
运算的实现是针对存储结构的，指出运算的具体操作步骤。

定义一个ADT，就是定义了数据的逻辑结构、数据的运算。也就是定义了一个数据结构。

确定一种存储结构，就意味着在计算机中表示出数据的逻辑结构。存储结构不同，也会导致运算的具体实现不同。确定了存储结构，才能实现数据结构

算法的基本概念

什么是算法

算法：算法(Algorithm)是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令
表示一个或多个操作

算法的五个特性

有穷性

有穷性：算法必须总在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成。

注:算法必须是有穷的，而程序可以是无穷的。

确定性

确定性：算法中每条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得出相同的输出。

可行性

可行性：算法中描述的操作都可以通过已经实现的基本运算执行有限来实现。

输入

输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定的对象的集合。

输出

输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出是与输入有着某种特定关系的量。

"好"算法的特性

正确性

正确性：算法应能够正确地解决求解问题。

可读性

可读性：算法应具有良好的可读性，以帮助人们理解。

健壮性

健壮性：算法能适当地做出反应或进行处理，而不会产生莫名其妙的输出结果。

高效率和低存储量需求

花的时间少时间复杂度低；不费内存，空间复杂度低。

算法的时间复杂度

算法时间复杂度：事前预估算法时间开销T(n)与问题规模 n 的关系 (T 表示“time”）

当我们遇到以下题目计算语句的时间复杂度时


我们取时间开销计算式的最高阶为时间复杂度

当一个算法的问题规模n足够大时，

利用大O表示法表示时间复杂度。

规则

• 加法规则
  T(n) = T(n) + T2(n) = 0(f(n)) + 0(g(n)) = 0(max(f(n), g(n)))—>多项相加，只保留最高阶的项，且系数变为1

• 乘法规则
  T(n)= T(n)XT(n) = O((n))XO(g(n))= O(f(n)Xg(n))—>多项相乘，都保留

常见的渐进时间复杂度

口诀

常对幂指阶（从小到大）

最坏时间复杂度：最坏情况下算法的时间复杂度。
平均时间复杂度：所有输入示例等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。
最好时间复杂度：最好情况下算法的时间复杂度。

算法的空间复杂度

将代码装入内存中，无论问题规模如何，所需要的内存空间都是固定的常量。

普通程序的内存开销

当程序中出现的变量与问题规模n无关时，其充其量在式子中为常数，最后式子取最高阶用大O表示法为O(n)

此时空间复杂度取O(n*n)n平方

函数递归调用带来的内存开销

由于递归调用，函数所需空间增多。

此时调用5次，若问题规模为n,则调用1、2、3、…n次，为(1/2(nn))/2 + (1/2)n
S(n) = O(nn)