数据结构－堆

1.容器
容器用于容纳元素集合，并对元素集合进行管理和维护．
传统意义上的管理和维护就是：增，删，改，查．
我们分析每种类型容器时，主要分析其增，删，改，查动作实现，及复杂度．

2.堆
2.1.结构
2.1.1.图解
堆是容器类型．
采用容器内元素在线性空间连续存储的组织方式（数组也是如此）．
但除此之外，基于元素的组织方式，为其抽象出了一层二叉树的逻辑关系．

以一个具体实例来说明．

上图是代表了一个可容纳12个元素的线性空间．现在存储了8个有效元素．堆的元素存储和数组一致．
但堆为其顺序存储的元素抽象出了一层二叉树的逻辑关系．

抽象的过程为，对顺序存储的每个元素，依次用这些元素顺序填满一颗满二叉树．
所谓满二叉树指的是，除了树最后一层，其余各层均是满的．最后一层，最后一个元素左边各个元素均是存在的．

如果观察特点可以得出以下结论，对顺序存储中索引为nIndex的元素．
逻辑结构里，其左孩子是索引为(2*nIndex+1)的元素，其右孩子是索引为(2*nIndex+2)的元素．

堆针对逻辑结构又施加了一层限制．
对最大堆来说，这层限制是：对堆中任一元素，该元素需要大于等于其左孩子，其右孩子上的元素．
对最小堆来说，这层限制是：对堆中任一元素，该元素需小于等于其左孩子，其右孩子上的元素．

在以上条件均满足下，可被利用的性质是：
(1). 首个元素是所有元素中最大的（对最大堆），最小的（对最小堆）．
(2). 抽象出来的二叉树由于是满二叉树，其高度为：log以2为底n的对数．

2.1.2.存在一致性约束容器特点
(1). 插入无需提供位置信息．
(2). 不支持直接原地修改．一般分解为移除，添加两个过程．
(3). 由于元素值决定其位置，这类容器一般插入元素时，以std::pair<key, value>形式插入．即元素包含键，值两部分．键用来实现一致性约束．值是此键关联的实际内容．

2.2.动作
2.2.0.建堆
意思是直接给一个连续存储的元素集合，把这些元素集合调整为符合堆性质的元素集合．
最直观当然是对集合内每个元素直接执行插入，这样所有元素插入完毕，就得到一个由这些元素构成的堆．
这里介绍另一种方式．
从集合最后一个元素反向遍历到第一个元素．
对每次遍历到的元素，让其符合：以该元素为根子树中所有元素均满足堆的性质．

下面介绍针对每个遍历到元素的调节过程．
不妨假设我们现在遍历到的元素是p．假设是最小堆．
由于我们之前每次遍历时，均按上述要求．所以，p的左孩子为根子树中所有元素此时均满足堆的性质．p的右孩子为根子树也是如此．此刻子树中唯一可能不满足要求的就是p和其左，右孩子．
若p小于其左，右孩子上的元素，则无需调节．
否则，找到三者中最小元素q．交换此q和p的位置．
交换后对p和其左右孩子来说堆的性质得到满足．但对q来说，由于此位置元素变大了．所以，此刻子树中只有q与其左右孩子可能不满足堆的性质．这样，我们虽然未立即解决问题．但将问题转化为了一个同类型问题．
由于树的高度有限，每次转化后我们在更低一层子树上再次处理同类问题．
故，即使最坏下，至多经过有限次调节，也可解决问题．

2.2.1.增
堆中插入新元素．对于存在一致性约束的容器，元素插入到容器后，需经历调节过程．不需要也无法在指定位置实现插入．具体位置依赖调节过程．

插入过程可描述为：
(1). 将新元素放在数组尾后位置．
(2). 这样，此时数组对应的二叉树中，只有新节点p和其父亲q可能不满足堆的性质．
(3). 我们分析最小堆场景．比较p和q，若q中元素小于等于p，则无需调节．
(4). 若q中元素大于p，交换p，q内元素．交换后，由于q位置元素变小了．所以，q和其父节点可能不满足堆的性质．p位置元素变小了．故，以p和其左右孩子必然满足堆的性质．

这样，我们虽然未立即解决问题，但将问题转化了．由于树的高度有限，故，最坏下也能经过有限次迭代结束调节过程．

2.2.2.删
堆由于其性质，一般移除限定只能移除首个元素．我们分析移除首个元素过程．

删除首元素可描述为：
(1). 交换尾元素和首元素．递减有效元素数量．
(2). 我们分析最小堆场景．此时，首元素p相比原来变大了．此时，整棵树中只有p和其左右孩子可能不满足堆的性质．
(3). 我们寻找节点p，其左孩子lp，其右孩子rp，三者中最小元素及其位置．
(4). 若最小元素是p，则无需调节．
(5). 若最小元素是某个孩子cp(要么lp，要么rp)．交换cp和p上元素．这样，交换后p和其左右孩子此时满足了堆的性质．但cp上元素变大了，所以，此时cp和其左右孩子可能不满足堆的性质．

这样，我们虽然未能立即解决问题．但将问题转化了．由于树的高度有限，故，最环下也能经过有限次迭代结束调节过程．

2.2.3.查
堆一般只提供访问首元素方法即可．
访问首元素直接基于索引访问即可．

2.2.4.改
对于存在一致性约束的容器，一般不会允许直接修改元素的值．
此类操作一般分解为：删除老元素，添加新元素两个过程来实现．

删除非首元素，类似删除首元素过程．只不过此时先交换删除位置元素和尾部元素．再从此开始进入调节流程．

2.3.时间复杂度
评价容器的依据一个是其占据的线性空间，一个是操作执行的时间复杂度．
堆的各个操作时间复杂度为：
(1). 增：Θ(log以2为底n的对数)
(2). 删：Θ(log以2为底n的对数)
(3). 查：Θ(1) (索引访问)
(4). 改：Θ(1) (log以2为底n的对数)