【动态规划专栏】专题二：路径问题--------4.下降路径最小和

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题目来源

本题来源为：

Leetcode 931. 下降路径最小和

题目描述

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

题目解析

题目很好理解，注意一点就是选择下一行发的元素是离他最近的三个位置的元素。

算法原理

1.状态表示

经验+题目要求

对于本题而言就是：

dp[i][j]表示：走到[i,j]位置的时候，最小的下降路径

2.状态转移方程

分三种情况：

因此状态方程为：

dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]))+matrix[i-1][j-1];

3.初始化

本次的初始化需要加两列一行。

4.填表顺序

整体从上往下

5.返回值

返回最后一行的最小值

代码实现

动态规划的代码基本就是固定的四步：

1.创建dp表
2.初始化
3.填表
4.返回值

本题完整代码实现：

class Solution 
{
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {int n=matrix.size();//创建dp表vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(n+2,INT_MAX));//初始化第一行for(int i=0;i<n+2;i++)dp[0][i]=0;//填表for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){//抄状态转移方程dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]))+matrix[i-1][j-1];}}int ret=INT_MAX;for(int j=1;j<=n;j++){ret=min(ret,dp[n][j]);}return ret;}
};

时间复杂度：O(N)
空间复杂度：O(N)