数字信号处理：傅里叶分析

本文主要参考视频如下：

数字信号处理9-1_线性时不变系统对复指数信号的响应_哔哩哔哩_bilibili

傅里叶分析的主要研究内容如下所示：

注意，计算机中使用的离散傅里叶变换并不是离散时间傅里叶变换；

前四种都是理论上的变换方式，最后一种是计算机应用中的变换方式。

连续时间周期信号的傅里叶级数

要注意，连续时间周期信号的傅里叶级数是一个离散的结果，是一系列谐波的离散组合。

理论上，任何一个周期信号都可以进行傅里叶级数的分解，但是不一定能收敛，所以一般只有满足狄利赫里条件的周期信号才能展开成傅里叶级数。

满足狄利赫里条件时，在不连续的点处会出现吉布斯现象

连续时间非周期信号的傅里叶变换

注意，连续时间非周期信号的傅里叶变换是一个频率密度的概念，是一个连续的函数，以w为自变量

频谱越来越密。

逆变换到时域

周期信号的傅里叶级数也可以统一到傅里叶变换

注意，傅里叶级数的结果是频谱，傅里叶变换的结果是频谱密度。

连续时间傅里叶变换的性质

1、共轭和共轭对称性

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3

4

如果时域卷积不方便计算，可以转换成对应频率的相乘。

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离散时间周期信号的傅里叶级数

注意下，连续时间周期信号的傅里叶级数是一个无穷级数；

离散时间周期信号的傅里叶级数只需要在一个周期上展开即可；

举个例子

离散时间周期信号的频谱是周期延拓的

存在性

可见，任何离散时间周期信号的傅里叶级数必定存在，不需要满足什么额外条件；

离散时间非周期信号的傅里叶变换

逆变换

存在性

频谱密度图像是以2π为周期进行周期沿拓的

离散时间周期信号也可以统一到傅里叶变换

举个例子

离散时间傅里叶变换的性质

以上几种傅里叶变换的对比

图像化理解

离散傅里叶变换DFT

离散傅里叶变换是基于离散时间周期信号的傅里叶级数的，是计算机处理信号的方式。

它是暴力地将离散信号的长度N0就看做周期为N0的离散时间周期信号，然后计算其DFS，但是相比DFS会少一个系数，需要我们手动处理，这就是DFT

这种简单粗暴的方式是否合理呢？给一颗定心丸，肯定是合理的。

举个例子

再举个实际的例子

快速傅里叶变换FFT

FFT其实就是DFT的快速算法

DFT的计算量

具体实现过程可参考这个视频

数字信号处理13-2_快速傅里叶变换（FFT）-降低运算量的基本思路_哔哩哔哩_bilibili

不在此赘述了

频谱泄漏和窗函数

举个实例来说明什么是频谱泄漏

假如刚好采集到一个周期，那么就能反应真实情况

但是如果信号本身就没有周期呢？或者采集的不到一个周期或者超过一个周期呢？就有误差了。

还原回去看下

如何减弱频谱泄漏的影响

实际中，窗函数一般不这么用，在滤波器设计中用得比较多。