[递推与递归]数的计算

题目描述

给出正整数 n，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数字 n 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 a,b不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 i≤∣a∣，使得 ai≠bi；

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 n。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

输入输出样例

输入 #1

6

输出 #1

6

说明/提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

• 6
• 6,1
• 6,2
• 6,3
• 6,2,1
• 6,3,1

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 1≤n≤1000

解题分析

本题的递推其实并不困难，主要是关于递归函数的一个设计。我们假定f(n)表示对于给定的正整数n，它得到的序列个数。那么，我们可以将其与更小的数所形成的序列个数进行关联。例如说例子中的6, 它所形成的序列首先有它自己本身吧。然后，对于小于等于它的二分之一的数，都可以继续接在这个序列的后面。

所以，我们可以得到f(n)=f(1)+f(2)+....+f(m)，其中m<=n/2，那么，本题就解决了。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
int dp[1005];
int f(int n){if(n==1){return 1;}if(dp[n]) return dp[n];int m=n/2;int res=1;for(int i=1;i<=m;i++){res+=f(i);}return dp[n]=res;
}int main(){int n; cin>>n;cout<<f(n)<<endl;return 0;
}