【数据结构与算法】常见排序算法（Sorting Algorithm）

相关概念

1. 排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。
2. 稳定性：说简单点就是有相同值时，排序后这些相同值互相顺序没发生变化则称为稳定的排序算法。假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。
3. 内部排序：数据元素全部放在内存中的排序（重点）。
4. 外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序（了解）。

常见排序算法时间、空间、稳定性：

1. 直接插入排序：O(n²)，正常情况下最快的O(n²)排序算法，稳定。
2. 希尔排序：O(n^1.3)，比O(n*log₂n)慢一点点，不稳定。
3. 直接选择排序：O(n²)，比冒泡快，比插入慢，不稳定。
4. 堆排序：O(n*log₂n)，不稳定。
5. 冒泡排序：O(n²)，稳定。
6. 快速排序： O(n*log₂n)，不稳定，空间O(log₂n)。
7. 归并排序 O(n*log₂n)，稳定，空间O(n)。

排序不特别说明，则排序以升序为例。
时间复杂度不特别说明，则默认最坏时间。
空间复杂度不特别说明，则默认O(1)。

1. 冒泡排序（Bubble Sort）

思想：两两比较，再交换。前一个值比后一个值大，交换两个值。


优化冒泡排序，冒泡排序优化版：

void BubbleSort(int* a, int n) 
{int sortBorder = n - 1;int lastExchange = 0; for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {bool isSorted = true; for (int j = 0; j < sortBorder; ++j) {if (a[j] > a[j + 1]) {Swap(&a[j], &a[j + 1]);isSorted = false;lastExchange = j;}}if (isSorted) {break;}sortBorder = lastExchange;}
}
void Swap(int* px, int* py) 
{int tmp = *px;*px = *py;*py = tmp;
}

2. 直接插入排序（Insertion Sort）

思想：类似将扑克牌排序的过程，数据越有序，排序越快。

void InsertionSort(int* a, int n)
{for (int i = 0; i < n - 1; ++i){int end = i;int insertVal = a[end + 1];while (end >= 0 && insertVal < a[end]){a[end + 1] = a[end];--end;}a[end + 1] = insertVal;}
}

直接插入排序O(n*n)，n方的排序中，直接插入排序是最有价值的。其它的如冒泡，直接选择排序等与直接插入排序一样N方的排序都是五十步和百步的区别，总体来看没啥区别，都不如直接插入排序，看以下几点分析以及排序时间比较，再就是大家自己编一串数据走查一下排序过程即可发现。

1.排升序而数据大致是降序，或排降序而数据大致是升序情况下，直接插入排序的时间复杂度是O(n*n)，因为比较挪数据次数是等差数列之和。

2.数据大致有序，且排序顺序与数据顺序一致情况下，直接插入排序的时间复杂度是O(n)，因为比较挪数据次数较少（不进入while循环）。比如排升序，而数据也大致也是升序状态（较为有序 或 直接就是有序的）。

3.虽然直接插入排序与冒泡排序的时间复杂度是同一个量级，但不谈上面第一种情况，
正常大多都是数据随机排列情况下前者比后者快很多，这时比较挪数据次数不会是等差数列之和，中间一般多少会有一部分是有序的，有那么几趟是不进入while循环的，比较挪数据次数当然是比等差数列之和要少的。虽然还是O(n*n)的量级，但明显是比冒泡快，至于快多少则是看有序的数据多不多（极限就是第二种情况）。

10w个数据 排序速度对比：

release环境是发布版本环境，对代码是有很大优化的，优化点大致是：

1. 相比于debug环境，release环境生成的目标文件包含很少调试信息甚至没有调试信息。
2. 减少了很多消耗性能或不必要的操作，不对代码进行边界检查，空指针检查、assert断言检查等。
3. 特别是对递归优化巨大，也就是对函数栈帧的创建/栈的消耗优化很大，比如对于debug环境下栈溢出的程序，切换成release则不会造成栈溢出。

博主水平有限，不知道更多相关细节或是底层原理，如有错误恳请指正。

3. 希尔排序（Shell Sort）

希尔排序是直接插入排序的优化版，对于直接插入排序而言，数据越有序，排序越快，希尔排序正是借助直接插入排序的特点进行了优化。

思想：先对数据分组进行几次预排序（对数据分组进行直接插入排序），使数据形成较为有序的情况，最后整体进行一趟直接插入排序即可完成排序。

void ShellSort(int* a, int n) 
{int gap = n; while (gap > 1) {gap = gap / 3 + 1; // gap / 2也可for (int j = 0; j < n - gap; ++j) {int end = j;int insertVal = a[end + gap];while (end >= 0 && insertVal < a[end]) {a[end + gap] = a[end];end -= gap;}a[end + gap] = insertVal;}}
}

1. 希尔排序不好计算确切的时间复杂度，有牛人通过大量实验证明平均时间复杂度大致为O(n^1.3)，比O(n*logn)要慢一点点，但两者差不多是同一量级。

2. gap>1时是预排序，gap=1时等于直接插入排序。

3. gap的取值，gap/2或gap/3+1是当前主流，也被认为是gap最好的取值。gap相当于划分多少组进行预排序，如果定死gap=1则与直接插入排序无异。gap/2或gap/3+1则是划分每组多少个数进行预排序，gap/3+1中的+1是因为要保证最后一组排序时gap=1进行直接插入排序操作。严格来说只要能保证最后一趟gap=1，无论gap除以几加几，都算是希尔排序。

4. 每一组预排序后，都会逐渐加大数据的有序情况。后面几组预排序虽然每组划分的数据多了（gap逐渐减小间隔变小了），也就是比较次数变多了，但经过前面的预排序后数据渐渐有序，实际不会进行过多的比较挪数据操作，每前一次预排序都为后一次预排序减轻压力。

速度对比（毫秒）：

4. 直接选择排序（Selection Sort）

每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，逐步向后存放。

数据较为有序的情况下，直接选择排序选要比冒泡、直接插入排序慢。

void SelectionSort(int* a, int n)
{int begin = 0, end = n - 1;while (begin < end){int min = begin, max = end;for (int i = begin; i <= end; ++i){if (a[i] < a[min]) min = i;if (a[i] > a[max]) max = i;}Swap(&a[begin], &a[min]);if (max == begin){max = min;}Swap(&a[end], &a[max]);++begin; --end;}
}

在优化版中，必须有这样一个判断max==begin，并更新max的下标值！最小的数a[min]换到了左边begin位置，如果最大的数的下标max正好等于begin，那就出现这种问题：最大的数a[max]已经被换到min下标位置了，即a[min]才是最大数；而本来a[max]是最大的数，由于max==begin，而经过前面a[begin]与a[min]交换的影响，导致a[begin]/a[max]变成了最小的数，不加判断并更新max的后果是把最小的数放在右边end位置了。

5. 堆排序（Heap Sort）

了解堆请看：文章 堆 / 堆排序 / TopK问题（Heap）

时间复杂度O(nlog₂n)，排序速度与希尔差不多。也可以向上调整建堆，但比向下调整建堆要慢一些。

void HeapSort(int* a, int n)
{for (int parent = (n - 1 - 1) / 2; parent >= 0; --parent) {AdjustDown(a, n, parent);}for (int end = n - 1; end > 0; --end){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);}
}
/* 将堆向下调整为大堆 */
void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{int child = parent * 2 + 1; // 选出较大子节点child = child + 1 < size && a[child + 1] > a[child]? child + 1 : child;while (child < size && a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child; // 重复往下child = parent * 2 + 1;child = child + 1 < size && a[child + 1] > a[child]? child + 1 : child;}
}

parent初始为最后一个非叶子节点（多一个 -1 的原因），
向下调整（建大堆），往堆顶方向走把所有非叶子结点调整一遍。

堆顶最大值与堆底较小值交换，然后排除这个堆底的最大值(a[end])，
剩下的作为堆，从堆顶较小值开始向下调整为大堆（–end一步步排除新的最大值a[end]）。

10w个数据，排序速度对比：

堆排序时间复杂度严格来算：

1. 向上调整建堆O(nlogn) + 排序O(nlong)：O(2n*2logn)。
2. 向下调整调整建堆O(n) + 排序O(nlogn)：O(2n*logn)。

所以说希尔排序O(n^1.3)比O(n*log₂n)要慢些，但却是同一量级。不过堆排序的时间复杂度严格来说比真正的O(nlog₂n)要慢一点点，所以希尔排序与堆排序的速度相同。

6. 快速排序（Quick Sort）

快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法。

6.1 hoare快排（最早的快排方法）

基本思想：取待排序数据中的某个元素作为基准值，将数据分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后左右子序列重复该过程进行分割，直到所有元素都排列在相应位置上为止。

// 1.hoare递归（最早的快排方法）
void QuickSort1(int* a, int begin, int end)
{if (begin < end) {int left = begin;int right = end;int keyi = begin; // 基准值（下标）while (left < right) {	/* 必须加上left<right防止内循环越界；>=而不是>，<=而不是<，防止重复值死循环。*/while (left < right && a[right] >= a[keyi]) {--right; // 找小的}while (left < right && a[left] <= a[keyi]) {++left; // 找大的}Swap(&a[left], &a[right]);}Swap(&a[left], &a[keyi]);QuickSort0(a, begin, left - 1); // 左区间序列QuickSort0(a, left + 1, end); // 右区间序列}
}

基准值的取法：

1. 取序列第一个数据，需要右指针right先走（学习时往往采用的方式，上面动图演示也是基于这个方式）；或取序列最后一个数据，需要左指针left先走（本质与前者没区别）。
2. 三位取中法：key、left和right中取第二大的值作为基准值。（这是优化版，推荐）

优化快排（重要）

1. 减少函数递归的栈帧开销（虽然不用，但必须了解）

优化hoare快排的递归开销：递归树最后两三层（小区间）改用插入排序，减少大量函数栈帧内存消耗。该优化在debug环境下确实能优化，在逻辑上也确实能优化，但release环境同样也对递归进行了优化，而且优化力度只会更大，所以小区间使用插入排序减少递归栈帧的优化方案或许起不到效果。

例如一颗满二叉树，可以看到最后两三层的数量是最多的：

对于hoare快排划分左右区间同理：

#define RECUR_MAX 10
void QuickSortX(int* a, int begin, int end)
{if (begin < end){if (end - begin + 1 <= RECUR_MAX){InsertionSort(a, end - begin + 1);}else{int left = begin;int right = end;int keyi = begin; // 基准值（下标）while (left < right){	/* 必须加上left<right防止内循环越界；>=而不是>，<=而不是<，防止重复值死循环。*/while (left < right && a[right] >= a[keyi]) {--right; // 找小的}while (left < right && a[left] <= a[keyi]) {++left; // 找大的}Swap(&a[left], &a[right]);}Swap(&a[left], &a[keyi]);QuickSort0(a, begin, left - 1); // 左区间序列QuickSort0(a, left + 1, end); // 右区间序列}}
}

2.三位取中法取基准值（重点）

该优化提升非常大，主要是优化对较为有序的数据进行排序的情况。先看例子：一个较为有序的序列 1 2 3 4 7 6 8 10 9 对于这组数据，对于现在没有使用三位取中的快排而言，前面几趟排序是比较难受的。

比如第一趟，right一直不到比key要大的值，找最后搞得–right来到了key的位置，这就导致没有左区间，右区间从2开始，数据越是有序，快排速度越慢，最慢时退化到O(n²)。

解决办法就是不要直接取第一位作为基准值，从begin、mid和end之间选出第二大的值作为基准值。

每趟排序前先三位取中做交换，这样就不至于面对这种情况，每趟排序right都走到最右边。

6.2 挖坑法快排

该方法思想与hoare版差不多，算是hoare版的改进，可能更好理解一些，但排序速度比起hoare版没啥大变化，差不多。

void QuickSort2(int* a, int begin, int end)
{if (begin < end){if ((end - begin) + 1 <= RECUR_MAX) {InsertionSort(a + begin, (end - begin) + 1);}else{int midi = MidIndex(a, begin, end);Swap(&a[begin], &a[midi]);int left = begin;int right = end;int key = a[begin];int pos = begin;while (left < right){while (left < right && a[right] >= key) {--right;}a[pos] = a[right];pos = right;while (left < right && a[left] <= key) {++left;}a[pos] = a[left];pos = left;}a[pos] = key;QuickSort2(a, begin, pos - 1);QuickSort2(a, pos + 1, end);}}
}

6.3 双指针法快排

void QuickSort3(int* a, int begin, int end)
{if (begin < end){int midi = MidIndex(a, begin, end);Swap(&a[begin], &a[midi]);int keyi = begin;int pre = begin;int cur = begin + 1;while (cur <= end){if (a[cur] <= a[keyi]) {++pre;Swap(&a[pre], &a[cur]);}++cur;}Swap(&a[keyi], &a[pre]);keyi = pre;QuickSort3(a, begin, keyi - 1);QuickSort3(a, keyi + 1, end);}
}

6.4 非递归快排

需要借助栈（Stack），本质与递归一样，递归也是栈帧的开辟与销毁。

void QuickSortNonRecur(int* a, int begin, int end)
{assert(begin < end);Stack stack;Init(&stack);Push(&stack, begin); Push(&stack, end);// 类似递归while (!Empty(&stack)){// 出栈int right = Top(&stack); Pop(&stack);int left = Top(&stack); Pop(&stack);if (left < right){// 一趟快排int keyi = left;int previ = left;int curi = left + 1;while (curi <= right){if (a[curi] <= a[keyi]){++previ;Swap(&a[previ], &a[curi]);}++curi;}Swap(&a[keyi], &a[previ]);keyi = previ;// 入栈if (left < keyi - 1){Push(&stack, left);Push(&stack, keyi - 1);}if (keyi + 1 < right){Push(&stack, keyi + 1);Push(&stack, right);}}}Destroy(&stack);
}

快速排序的排序速度比较（包含测试代码）

单位为毫秒。

500w个数据：

1000w个数据：

#include "Sort.h"void TestPerformance();int main() {TestPerformance();
}void TestPerformance() {const int N = 10000000;//int* a1 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);//int* a2 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);int* a3 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);//int* a4 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);int* a5 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);int* a6 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);int* a10 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);int* a11 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);int* a12 = (int*)malloc(sizeof(int) * N);srand((unsigned int)time(0));for (int i = 0; i < N; i++) {//a1[i] = rand();//a2[i] = a1[i];a3[i] = rand();//a4[i] = a1[i];a5[i] = a3[i];a6[i] = a3[i];a10[i] = a3[i];a11[i] = a3[i];a12[i] = a3[i];}//int begin1 = clock();//BubbleSort(a1, N);//int end1 = clock();//int begin2 = clock();//InsertionSort(a2, N);//int end2 = clock();int begin3 = clock();ShellSort(a3, N);int end3 = clock();//int begin4 = clock();//SelectionSort(a4, N);//int end4 = clock();int begin5 = clock();HeapSort(a5, N);int end5 = clock();int begin6 = clock();QuickSort1(a6, 0, N - 1);int end6 = clock();int begin10 = clock();QuickSort2(a10, 0, N - 1);int end10 = clock();int begin11 = clock();QuickSort3(a11, 0, N - 1);int end11 = clock();int begin12 = clock();QuickSort3(a12, 0, N - 1);int end12 = clock();//printf("BubbleSort: %d\n", end1 - begin1);//printf("InsertionSort: %d\n", end2 - begin2);printf("ShellSort: %d\n", end3 - begin3);//printf("SelectionSort: %d\n", end4 - begin4);printf("HeapSort: %d\n", end5 - begin5);printf("QuickSort1: %d\n", end6 - begin6);printf("QuickSort2: %d\n", end10 - begin10);printf("QuickSort3: %d\n", end11 - begin11);printf("QuickSortNonRecur: %d\n", end12 - begin12);
}

7. 归并排序（Merge Sort）

7.1 递归版

思想：分治法（Divide and Conquer），递归分治后小规模两两排序，逐渐合并大规模两两排序，最后到两个子序列合并成一个有序列表，该方法也称“二路归并”，时间复杂度为O(nlogn)。

归并排序需要借助一个额外的数组，因此空间复杂度为O(n)，在这个临时数组中排好序后，将排好序的数据复制回原序列。

// 二路归并排序
void Merge(int* a, int begin, int end, int* tmpArr);
void MergeSort(int* a, int begin, int end)
{if (begin < end){int* tmpArr = (int*)malloc(sizeof(int) * (end + 1));if (tmpArr == NULL){perror("MergeSort malloc failed.");return;}Merge(a, begin, end, tmpArr);free(tmpArr);tmpArr = NULL;}
}
void Merge(int* a, int begin, int end, int* tmpArr)
{// 分解int mid = (begin + end) / 2;if (begin < end){Merge(a, begin, mid, tmpArr);Merge(a, mid + 1, end, tmpArr);}// 排序，合并存入临时数组int begin1 = begin;int begin2 = mid + 1;int k = begin;while (begin1 <= mid && begin2 <= end){if (a[begin1] < a[begin2]) tmpArr[k++] = a[begin1++];elsetmpArr[k++] = a[begin2++];}// 两个序列中某一个可能有剩余while (begin1 <= mid) {tmpArr[k++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end) {tmpArr[k++] = a[begin2++];}// 临时数组中排好序的数组，拷贝回原数组for (int i = begin; i <= end; i++) {a[i] = tmpArr[i];}
}

归并排与快排的排序速度比较：

7.2 非递归版

void MergeSortNonRecur(int* a, int n)
{int* tmpArr = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmpArr == NULL){perror("MergeSortNonRecur malloc failed.");return;}// gap：区间间隔for (int gap = 1; gap < n; gap *= 2){for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap){// 划区间int begin1 = i;int end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap;int end2 = i + (2 * gap) - 1;// 处理可能越界的区间if (end2 >= n) {end2 = n - 1;}if (end1 >= n || begin2 >= n) {break;}// 排序int k = begin1;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] < a[begin2])tmpArr[k++] = a[begin1++];elsetmpArr[k++] = a[begin2++];}// 两个序列中某一个可能有剩余while (begin1 <= end1) {tmpArr[k++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2) {tmpArr[k++] = a[begin2++];}// 临时数组中排好序的数组，拷贝回原数组for (int j = i; j <= end2; ++j) {a[j] = tmpArr[j];}}}
}

8. 计数排序

特点：效率极高。
缺点：适用范围有限，小数、结构体数据无法排序。
时间复杂度：O(MAX(n, range))，range = max - min（最大值-最小值）。
空间复杂度：O(range)。
计数排序是稳定排序算法。

排序思想：需要借助一个临时数组，在临时数组中统计原数组中每个值出现的次数。

void CountSort(int* a, int n)
{int min = a[0];int max = a[0];for (int i = 0; i < n; ++i){if (a[i] < min) {min = a[i];}if (a[i] > max) {max = a[i];}}int range = max - min + 1;int* count = (int*)calloc(range, sizeof(int));if (count == NULL){perror("CountSort malloc failed.");return;}// 计数for (int i = 0; i < n; ++i){count[a[i] - min]++;}// 排序int k = 0;for (int i = 0; i < range; ++i){for (int j = 0; j < count[i]; ++j){a[k++] = i + min;}}
}