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近自由电子近似

 假设 potential 的变化是非常小的

V(x)- \overline v= \Delta V

我们可以找到一条平均线

 代表的就是我们的平均值

这样我们用原来的V(x)- \overline v= \Delta V

 就可以得到一个\Delta V

和平均的这条线相比,上下变化不大,这个对我们薛定谔方程求解能带来很大的便利

我们就可以得到一个平均势场

这样的话,薛定谔方程就变为

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi^{0} }{d x^2}+\overline V \psi^{0}= E^{0} \psi^{0}

我们就可以解得

\psi_{k}^{0}=\frac{1}{\sqrt{L}}e^{ikx}

E_{k}^{0}= \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + \overline V

如果我们再考虑周期性边界条件

我们就可以得到

\psi_{k}^{0}=\frac{1}{\sqrt{L}}e^{ikx}=\frac{1}{\sqrt{L}}e^{ik(x+Na)}

我们就可以得到

kNa=l2 \pi=> k=\frac{l2 \pi}{Na}

我们需要大家比较不同条件下的薛定谔方程求解,平均值的V是一个定值,我们可以先想象成为0,然后再在求解形势下,再把V写上去,如果我们不用V平均,而用V + \Delta V

微扰理论的引入

我们就需要用微扰理论来求解

我们需要\Delta V比较小

 微扰理论给了布洛赫很大的便利,布洛赫把最新的量子理论引入到模型中,我们可以吸收最先进的理论,可以对旧的理论有更好的解释

我们来看一下微扰理论

在微扰理论里面

perturbation:小的扰动,可以对哈密顿量产生影响

分成两个部分H_{0}+H^{\prime}

H_0=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\overline V

H^{\prime}=V(x)-\overline V=\Delta V

强调E和K有关系

没有微扰的地方,对实际的E进行展开,微扰可以引入一阶和二阶能量修正

一阶和二阶修正,要分别看一看微扰对一阶和二阶能量修正的影响

一,二级能量修正下,哈密顿算符,量子力学的operator的符号化 

我们能够得到这样的一个公式,原先的式子之后,还有一个散射项,对于散射来讲,更准确的来说是由于周期性势场决定的,由atom决定的,由于原子在旁边,所以会产生影响

 这个跳变就是我们的bandgap,就是我们的禁带宽度


做二级能量修正的时候,一些k是取不到的,我们能够取到的都是在第一布里渊区逼近德时候

在周围的时候二级能量修正才有作用,如果我们评估微扰德周期性势场对于波函数的扰动,我们看出来k必须满足一定关系,我们才能把扰动说清楚

一级波函数修正就可以,我们也有类似的分母,k的取值也是有特殊关系,我们发现波函数在分母为0的时候,整个波函数是发散性的,波函数在布里渊区附近是发散的,导致我们在做E~K关系图的时候,在布里渊区附近的地方,我们都不能够很轻松的取到

或者可以说色散关系在布里渊区边界的时候,会发生变化,这个变化也是由于周期性势场扰动引起的,我们最后会发现,如果我们用两边逼近的方法去靠近基点,k从小到大,它的逼近方向不一样,取值就不同,E的变化形状就不相同,这样可以导致能量的取值,在布里渊区边界的地方,会发生一个劈裂,具体的计算步骤,我们肯定不做要求,如果以后同学学习的过程中,看固体物理或半导体物理书不清楚的时候,可以参考计算步骤

其实重要的,是知道布里渊区的图,可以发生能量的劈裂,由于扰动

我们在做能量修正的时候,可以发现


 禁带的来源就是周期性势场的扰动

 十三讲和十四讲中受到周期性市场影响就会出现一个禁带

发生在布里渊区禁带的地方

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