0104行列式的性质-行列式-线性代数

记

$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$,

$D^T=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

行列式$D^T称为行列式D$的转置行列式。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

$$\begin{gathered} 证： \\ D=det(a_{ij})的转置行列式为D^T=det(b_{ij}) \\ 即D^T的(i,j)元为b_{ij},则b_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots ,n),按定义 \\ {D}^T=\sum (-1{)}^t{b}_{1p_1}{b}_{2p_2}\cdots b_{n{p}_n}=\sum (-1{)}^t{a}_{p_{1}1}{a}_{p_{2}2}\cdots a_{p_{n}n} \\ 下证D=D^T \\ 对于行列式D的任一项 \\ (-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{i{p}_i}\cdots a_{j{p}_j}\cdots a_{n{p}_n} \\ 其中1\cdots i\cdots j\cdots n为标准排列，t为排列p_1\cdots p_i\cdots p_j\cdots p_n的逆序数，对换元素a_{i{p}_i}与a_{j{p}_j}为 \\ (-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{j{p}_j}\cdots a_{i{p}_i}\cdots a_{n{p}_n} \\ 这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时做了一次相应的对换。设新的行标排列1\cdots j\cdots i\cdots n的逆序数为r，则r为奇数； \\ 设新的列标排列p_1\cdots p_j\cdots p_i\cdots p_n的逆序数为t_1,则 \\ (-1{)}^t=-(-1{)}^{t_1}=(-1{)}^r(-1{)}^{t_1}=(-1{)}^{r+t1} \\ 即对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，则行标排列与列标排列逆序数之后并不改变奇偶性。 \\ 经过一次对换如此，经过多次多换依然如此。于是经过若干次对换，使 \\ 列标排列p_1{p}_2\cdots p_n（逆序数t）变为标准排列（逆序数为0）；行标排列由标准排列变为某个新的排列，设此新的排列为q_1{q}_2\cdots q_n,其逆序数为s，则 \\ (-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}=(-1{)}^s{a}_{q_{1}1}{a}_{q_{2}2}\cdots a_{q_{n}n} \\ 又上式左边乘积的第i个元素a_{i{p}_i}为a_{ij}那么它必定是乘积的右边第j个元素，即a_{i{p}_i}=a_{ij}=a_{q_{j}j}. \\ 可见排列q_1{q}_2\cdots q_n由排列p_1{p}_2\cdots p_n所唯一确定 \\ 综上：对于D中任一项(-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}，总有且仅有D^T中的某一项(-1{)}^s{a}_{q_{1}1}{a}_{q_{2}2}\cdots a_{q_{n}n}与之对应且相等；反之亦然 \\ 从而D=D^T \end{gathered}$$

由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质反是对行成立的对列同样也成立，反之亦然。

性质2 对换行列式的两行（列），行列式变号。

$$\begin{gathered} 设行列式D_1=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right| \\ 是由行列式D=det(a_{ij})对换i,j两行得到的，即当k\ne i,j时，b_{kp}=a_{kp};当k=i,j时，b_{ip}=a_{jp},b_{jp}=a_{ip} \\ 于是D_1=\sum (-1{)}^t{b}_{1p_1}\cdots b_{i{p}_i}\cdots b_{j{p}_j}\cdots b_{n{p}_n}= \\ \sum (-1{)}^t{a}_{1p_1}\cdots a_{j{p}_i}\cdots a_{i{p}_j}\cdots a_{n{p}_n} \\ 其中1\cdots i\cdots j\cdots n为标准排列，t为排列p_1\cdots p_i\cdots p_j\cdots p_n的逆序数。 \\ 设排列p_1\cdots p_j\cdots p_i\cdots p_n的逆序数为t_1,则 \\ (-1{)}^{t1}=-(-1{)}^t \\ \therefore D_1=-D \end{gathered}$$

以$r_i$表示行列式的第$i$行，，以$c_i$表示行列式的第$i$列。对换$i,j$两行记作$r_i\leftrightarrow r_j$,对换$i,j$l两列记作$c_i\leftrightarrow c_j$。

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

$$\begin{gathered} 证: \\ 把行列式这两行对换，则D=-D \\ \therefore D=0 \end{gathered}$$

性质3 行列式中某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式。

推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第$i$行的元素都是两数之和：

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+a_{i1}^{{}^{\prime }}& a_{i2}+a_{i2}^{{}^{\prime }}& \cdots & a_{in}+a_{in}^{{}^{\prime }}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

则$D$等于下列两个行列式之和

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}^{{}^{\prime }}& a_{i2}^{{}^{\prime }}& \cdots & a_{in}^{{}^{\prime }}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

例 $$D=\left|\begin{array}{cccc}3& 1& -1& 2\\ -5& 1& 3& -4\\ 2& 0& 1& -1\\ 1& -5& 3& -3\end{array}\right|$$

$$\begin{gathered} 解： \\ D\stackrel{c_1\leftrightarrow c_2}{=}-\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 1& -5& 3& -4\\ 0& 2& 1& -1\\ -5& 1& 3& -3\end{array}\right| \\ \stackrel{r_2-r_1,r_4+5r_1}{=}-\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& -8& 4& -6\\ 0& 2& 1& -1\\ 0& 16& -2& 7\end{array}\right| \\ \stackrel{\frac{1}{2}{r}_2,2r_3}{=}-\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& -4& 2& -3\\ 0& 4& 2& -2\\ 0& 16& -2& 7\end{array}\right| \\ \stackrel{r_3+r_2,r_4+4r_2}{=}-\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& -4& 2& -3\\ 0& 0& 4& -5\\ 0& 0& 6& -5\end{array}\right| \\ \stackrel{c_3\leftrightarrow c_4,r_4-r_3}{=}\left|\begin{array}{cccc}1& 3& 2& -1\\ 0& -4& -3& 2\\ 0& 0& -5& 4\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right| \\ =40 \end{gathered}$$

例 计算$$\left|\begin{array}{cccc}3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right|$$
$$\begin{gathered} 解： \\ D\stackrel{r_1+r_2+r_3+r_4}{=}\left|\begin{array}{cccc}6& 6& 6& 6\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right| \\ D\stackrel{r_1/6}{=}6\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right| \\ D\stackrel{r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1}{=}6\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right| \\ =48 \end{gathered}$$
例9 计算 $$D=\left|\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ a& a+b& a+b+c& a+b+c+d\\ a& 2a+b& 3a+2b+c& 4a+3b+2c+d\\ a& 3a+b& 6a+3b+c& 10a+6b+3c+d\end{array}\right|$$
$$\begin{gathered} 解： \\ D\stackrel{r_4-r_3,r_3-r_2,r_2-r_1}{=}\left|\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ 0& a& a+b& a+b+c\\ 0& a& 2a+b& 3a+2b+c\\ 0& a& 3a+b& 6a+3b+c\end{array}\right| \\ \stackrel{r_4-r_3,r_3-r_2}{=}\left|\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ 0& a& a+b& a+b+c\\ 0& 0& a& 2a+b\\ 0& 0& a& 3a+b\end{array}\right| \\ \stackrel{r_4-r_3}{=}\left|\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ 0& a& a+b& a+b+c\\ 0& 0& a& 2a+b\\ 0& 0& 0& a\end{array}\right| \\ =a^4 \end{gathered}$$

注：

1. $r_i+r_j与r_j+r_i$的区别。
2. $r_i+k{r}_j$是约定的行列式运算记号，不能写作$k{r}_j+r_i$

任何n阶行列式总能利用运算$r_i+k{r}_j$化为上三角行列式或化为下三行列式；同样地，利用运算$c_i+k{c}_j$也能把行列式化为上三角行列式或下三角行列式。

例10 设

$$D=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}& & & & \\ ⋮& & ⋮& & 0& & \\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}& & & & \\ c_{11}& \cdots & c_{1k}& b_{11}& \cdots & b_{1n}& \\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& \\ c_{n1}& \cdots & c_{nk}& b_{n1}& \cdots & b_{nn}& \end{array}\right|$$

$$D_1=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|,D_2=\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|$$

证明：$D=D_1{D}_2$
$$\begin{gathered} 证： \\ 对D_1做运算r_i+k{r}_j,把D_1化为下三角行列式，设为： \\ {D}_1=\left|\begin{array}{ccc}{p}_{11}& & 0\\ ⋮& \ddots & \\ p_{k1}& \cdots & p_{kk}\end{array}\right|=p_{11}\cdots p_{kk} \\ 对D_2做运算c_i+k{c}_j,把D_2化为下三角行列式，设为： \\ {D}_2=\left|\begin{array}{ccc}{q}_{11}& & 0\\ ⋮& \ddots & \\ q_{n1}& \cdots & q_{nn}\end{array}\right|=q_{11}\cdots q_{nn} \\ 于是对D的前k行做r_i+k{r}_j,在对后n列做运算c_i+k{c}_j,把D化为下三角行列式 \\ D=\left|\begin{array}{ccccccc}{p}_{11}& & & & & & \\ ⋮& \ddots & & & 0& & \\ p_{k1}& \cdots & p_{kk}& & & & \\ c_{11}& \cdots & c_{1k}& q_{11}& & & \\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & & \\ c_{n1}& \cdots & c_{nk}& q_{n1}& \cdots & q_{nn}& \end{array}\right| \\ \therefore D=p_{11}\cdots p_{kk}{q}_{11}\cdots q_{nn}=D_1{D}_2 \end{gathered}$$

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p8-14.

[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p4.